Expected-Value
百分比損失函數
問題的解決方案：
眾所周知是中位數，但是其他百分位數的損失函數是什麼樣的？例如：X 的第 25 個百分位是解決方案：
什麼是在這種情況下？
讓是指示函數：它等於對於真正的論點和否則。挑選並設置
該圖繪製. 它使用精確的縱橫比來幫助您測量坡度，坡度等於在左側和在右側。在這種情況下，上述遊覽與以下短途旅行相比，權重嚴重下降.
這是一個可以嘗試的自然函數，因為它對值進行加權超過不同於小於. 讓我們計算相關的損失，然後對其進行優化。
寫作對於分佈函數和設置, 計算
作為在此圖中隨標準正態分佈而變化, 的總概率加權面積被繪製。（曲線是.) 的右手圖最清楚地顯示了降低正值的影響，因為如果沒有這種降低權重，該圖將關於原點對稱。中間的圖顯示了最佳值，其中藍色墨水的總量（代表) 盡可能小。
這個函數是可微的，所以它的極值可以通過檢查臨界點來找到。應用鍊式法則和微積分基本定理獲得關於的導數給
對於連續分佈，這總是有一個解決方案根據定義，它是任何分位數. 對於非連續分佈，這可能沒有解決方案，但至少會有一個為此對所有人和對所有人: 這也（根據定義）是一個分位數.
最後，因為和, 很明顯兩者都沒有也不將把這種損失降到最低。這用盡了對關鍵點的檢查，表明符合要求。
作為特例，是問題中顯示的損失。
