Gamma 分佈的對數的期望值是多少？
如果期望值為 Gamma(α,β) 是 αβ , 的期望值是多少 log(Gamma(α,β)) ? 可以解析計算嗎？
我使用的參數化是形狀率。
這個（可能令人驚訝）可以通過簡單的基本操作來完成（使用 Richard Feynman 最喜歡的在積分符號下對參數進行微分的技巧）。
我們假設 X 有一個 Γ(α,β) 分佈，我們希望找到 Y=log(X). 首先，因為 β 是一個比例參數，它的作用是將對數移動 logβ. （如果你使用 β 作為速率參數，如問題所示，它將對數移動 −logβ. ) 這使我們可以處理此案 β=1.
簡化後，概率元素為 X 是
fX(x)=1Γ(α)xαe−xdxx
在哪裡 Γ(α) 是歸一化常數
Γ(α)=∫∞0xαe−xdxx.
替代 x=ey, 這需要 dx/x=dy, 給出概率元素 Y ,
fY(y)=1Γ(α)eαy−eydy.
的可能值 Y 現在覆蓋所有實數 R.
因為 fY 必須整合到統一，我們得到（平凡）
Γ(α)=∫Reαy−eydy.
注意 fY(y) 是一個可微函數 α. 一個簡單的計算給出
ddαeαy−eydy=y,eαy−eydy=Γ(α)y,fY(y).
下一步利用通過將該恆等式兩邊除以得到的關係 Γ(α), 從而暴露出我們需要整合以找到期望的對象；即， yfY(y):
E(Y)=∫Ry,fY(y)=1Γ(α)∫Rddαeαy−eydy =1Γ(α)ddα∫Reαy−eydy =1Γ(α)ddαΓ(α) =ddαlogΓ(α) =ψ(α),
伽馬函數的對數導數（又名“多伽馬”）。積分是使用恆等式計算的 (1).
重新引入因子 β 顯示一般結果是
E(log(X))=logβ+ψ(α)
對於尺度參數化（密度函數取決於 x/β ） 或者
E(log(X))=−logβ+ψ(α)
對於速率參數化（其中密度函數取決於 xβ ）。