Gamma 分佈的對數的期望值是多少？
如果期望值為 $ \mathsf{Gamma}(\alpha, \beta) $ 是 $ \frac{\alpha}{\beta} $ , 的期望值是多少 $ \log(\mathsf{Gamma}(\alpha, \beta)) $ ? 可以解析計算嗎？
我使用的參數化是形狀率。
這個（可能令人驚訝）可以通過簡單的基本操作來完成（使用 Richard Feynman 最喜歡的在積分符號下對參數進行微分的技巧）。
我們假設 $ X $ 有一個 $ \Gamma(\alpha,\beta) $ 分佈，我們希望找到 $ Y=\log(X). $ 首先，因為 $ \beta $ 是一個比例參數，它的作用是將對數移動 $ \log\beta. $ （如果你使用 $ \beta $ 作為速率參數，如問題所示，它將對數移動 $ -\log\beta. $ ) 這使我們可以處理此案 $ \beta=1. $
簡化後，概率元素為 $ X $ 是
$$ f_X(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} x^\alpha e^{-x} \frac{\mathrm{d}x}{x} $$
在哪裡 $ \Gamma(\alpha) $ 是歸一化常數
$$ \Gamma(\alpha) = \int_0^\infty x^\alpha e^{-x} \frac{\mathrm{d}x}{x}. $$
替代 $ x=e^y, $ 這需要 $ \mathrm{d}x/x = \mathrm{d}y, $ 給出概率元素 $ Y $ ,
$$ f_Y(y) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y. $$
的可能值 $ Y $ 現在覆蓋所有實數 $ \mathbb{R}. $
因為 $ f_Y $ 必須整合到統一，我們得到（平凡）
$$ \Gamma(\alpha) = \int_\mathbb{R} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y.\tag{1} $$
注意 $ f_Y(y) $ 是一個可微函數 $ \alpha. $ 一個簡單的計算給出
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y = y, e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y = \Gamma(\alpha) y,f_Y(y). $$
下一步利用通過將該恆等式兩邊除以得到的關係 $ \Gamma(\alpha), $ 從而暴露出我們需要整合以找到期望的對象；即， $ y f_Y(y): $
$$ \eqalign{ \mathbb{E}(Y) &= \int_\mathbb{R} y, f_Y(y) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_\mathbb{R} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y \ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\int_\mathbb{R} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\Gamma(\alpha)\ &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\log\Gamma(\alpha)\ &=\psi(\alpha), } $$
伽馬函數的對數導數（又名“多伽馬”）。積分是使用恆等式計算的 $ (1). $
重新引入因子 $ \beta $ 顯示一般結果是
$$ \mathbb{E}(\log(X)) = \log\beta + \psi(\alpha) $$
對於尺度參數化（密度函數取決於 $ x/\beta $ ） 或者
$$ \mathbb{E}(\log(X)) = -\log\beta + \psi(\alpha) $$
對於速率參數化（其中密度函數取決於 $ x\beta $ ）。