（整個）函數期望的泰勒級數近似何時收斂？

取一個期望的形式對於一些單變量隨機變量和一個完整的功能（即收斂區間為整條實線）

我有一個矩生成函數因此可以很容易地計算整數矩。使用泰勒級數然後根據一系列中心矩應用期望，

截斷這個系列，

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我的問題是：在什麼條件下隨機變量（以及任何附加的以及）當我添加術語時，期望的近似值是否收斂（即).

因為對於我的情況它似乎沒有收斂（泊松隨機變量和)，當這些條件失敗時，還有其他技巧可以找到整數矩的近似期望嗎？

根據你的假設 f 是實分析的， yn=f(μ)+f′(μ)(x−μ)+f″(μ)(x−μ)22!+…+f(n)(μ)(x−μ)nn!

幾乎肯定（事實上肯定）收斂到 f(x) .

作為收斂意味著期望收斂的標準條件，即 E[f(x)]=E[limn→∞yn]=limn→∞E[yn],

就是它 |yn|≤y 至於一些 y 這樣 E[y]<∞ . （支配收斂定理。）

如果冪級數絕對收斂，則該條件將成立，即 y=∑n≥0|f(n)(μ)|,|x−μ|nn!<∞;;a.s.

和 E[y]<∞.

您的泊松隨機變量示例和 f(x)=xα , α∉Z+ ，這表明上述絕對極限標準的可積性通常是最弱的。

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/160764