為什麼 rand()^2 的分佈與 rand()*rand() 的分佈不同？

在 Libre Office Calc 中，該rand()函數可用，它從均勻分佈中選擇 0 到 1 之間的隨機值。我對我的概率有點生疏，所以當我看到以下行為時，我很困惑：

A= 200x1 列rand()^2

B= 200x1 列rand()*rand()

mean(A)=1/3

mean(B)=1/4

為什麼是mean(A)!= 1/4？

考慮矩形可能會有所幫助。想像一下，您有機會免費獲得土地。土地的大小將由（a）隨機變量的一種實現或（b）同一隨機變量的兩種實現來確定。在第一種情況 (a) 中，該區域將是一個邊長等於採樣值的正方形。在第二種情況 (b) 中，兩個採樣值將表示矩形的寬度和長度。您選擇哪種替代方案？

讓是一個正隨機變量的實現。

a) 一次實現的期望值確定正方形的面積等於. 平均而言，該區域的大小將是

b) 如果有兩個獨立的實現和, 面積將是. 平均而言，大小等於

因為兩個實現都來自相同的分佈並且獨立。 當我們計算區域 a) 和 b) 的大小之差時，我們得到

上述術語等同於本質上大於或等於.

這適用於一般情況。

在您的示例中，您從均勻分佈中採樣. 因此，

和我們獲得

這些值是通過分析得出的，但它們與您使用隨機數生成器獲得的值相匹配。

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/77166