進行單尾 Kolmogorov-Smirnov 檢驗有意義嗎？
進行單尾KS測試是否有意義且可能？這種檢驗的原假設是什麼？或者 KS 測試本質上是一個雙尾測試？
我會從一個幫助我了解分佈的答案中受益 $ D $ （我正在研究梅西 1951 年的論文，發現描述具有挑戰性，例如 $ D^{+} $ 和 $ D^{-} $ 經驗CDF中差異的非絕對值的差異的上確界和下確界？）。
後續問題：怎麼樣 $ p $ -值 $ D^{+} $ 和 $ D^{-} $ 獲得？我遇到的許多出版物都提供了表格值，而不是 CDF $ D_{n} $ , $ D^{+} $ 和 $ D^{-} $ .
**更新：**我剛剛發現了相關問題什麼是單邊 Kolmogorov-Smirnov 檢驗中的零假設？，在寫這篇文章之前，我在初次掃描時錯過了它。
進行單尾KS測試是否有意義且可能？
毫無疑問，單尾通常與 Kolmogorov-Smirnov 一起使用。因為我們同時討論了許多差異（cdf 是一個函數，而不是一個值），所以差異的方向不是一個固定的東西 - cdf 可能在一個地方更大而在另一個地方更少（所以兩個方向測試可能同時很重要）。
KS測試本質上是雙尾測試嗎？
一點也不。
這種檢驗的原假設是什麼？
您不清楚您是在談論一個樣本還是兩個樣本測試。我在這裡的回答涵蓋了兩者——如果你認為 $ F_X $ 代表人口的 cdf $ X $ 樣本被抽取，它是兩個樣本，而您通過以下方式獲得一個樣本案例 $ F_X $ 作為一些假設的分佈（ $ F_0 $ ， 如果你比較喜歡）。
在某些情況下，您可以將 null 寫為等式（egif，它被認為不可能以另一種方式進行），但是如果您想為單尾替代方案編寫定向 null，您可以編寫類似這樣的內容：
$ H_0: F_Y(t)\geq F_X(t) $
$ H_1: F_Y(t)< F_X(t), $ , 對於至少一個 $ t $
（或者它與另一條尾巴相反，自然）
如果我們在使用測試時添加一個假設，即它們相等或 $ F_Y $ 會更小，然後拒絕 null 意味著（一階）隨機排序/一階隨機優勢。在足夠大的樣本中，F 有可能交叉 - 甚至多次，並且仍然拒絕單邊測試，因此嚴格需要假設隨機優勢才能成立。
鬆散地如果 $ F_Y(t)\leq F_X(t) $ 至少有一些嚴格的不等式 $ t $ 然後 $ Y $ “往往大於” $ X $ .
添加這樣的假設並不奇怪。這是標準的。這與假設（例如在 ANOVA 中）均值的差異是由於整個分佈的變化（而不是偏度的變化，其中一些分佈向下移動，一些分佈向上移動，但在這樣的均值改變的方式）。
因此，讓我們考慮一下，例如，法線的均值變化：
事實上，分佈為 $ Y $ 從那個為右移了一些量 $ X $ 暗示 $ F_Y $ 低於 $ F_X $ . 在這種情況下，片面的 Kolmogorov-Smirnov 檢驗將傾向於拒絕。
類似地，考慮 gamma 中的比例偏移：
同樣，向更大範圍的轉變會產生較低的 F。同樣，在這種情況下，單邊 Kolmogorov-Smirnov 檢驗將傾向於拒絕。
在許多情況下，這種測試可能是有用的。
那麼什麼是 $ D^+ $ 和 $ D^- $ ?
在單樣本測試中， $ D^+ $ 是樣本 cdf 與假設曲線的最大正偏差（即 ECDF 上方的最大距離 $ F_0 $ ， 儘管 $ D^- $ 是最大負偏差 - ECDF 低於的最大距離 $ F_0 $ ）。兩個都 $ D^+ $ 和 $ D^- $ 是正數：
單尾 Kolmogorov-Smirnov 測試將查看 $ D^+ $ 或者 $ D^- $ 取決於替代的方向。考慮一尾一樣本測試：
$ H_0: F_Y(t)\geq F_0(t) $
$ H_1: F_Y(t)< F_0(t), $ , 對於至少一個 $ t $
為了測試這個——我們想要對 $ Y $ 隨機地大於假設（它的真實 $ F $ 低於 $ F_0 $ ）。如此異常大的值 $ D^- $ 當備選方案為真時，往往會發生。因此，針對替代方案進行測試 $ F_Y(t)< F_0(t) $ ， 我們用 $ D^- $ 在我們的單尾測試中。
後續問題：p 值如何 $ D^+ $ 和 $ D^− $ 獲得？
這不是一件簡單的事情。已經使用了多種方法。
如果我沒記錯的話，其中一種分佈是通過使用布朗橋過程獲得的（本文檔似乎支持該回憶）。
我相信這篇論文和 Marsaglia等人 的論文都涵蓋了一些背景知識，並提供了許多參考的計算算法。
在這些之間，您將獲得很多歷史和已使用的各種方法。如果它們不能滿足您的需求，您可能需要將此作為一個新問題提出。
我遇到的許多出版物都提供了表格值，而不是 CDF $ D_n $ , $ D^+ $ 和 $ D^− $
這並不特別令人驚訝。如果我沒記錯的話，即使是漸近分佈也是作為一個序列獲得的，並且在有限樣本中它是離散的，而不是任何簡單的形式。在任何一種情況下，都沒有方便的方式來呈現信息，除了圖形或表格。
