“無偏”假設檢驗——實際上是什麼意思？[複製]

考慮規模水平的統計假設檢驗 $ 0<\alpha<1 $ 用於檢驗零假設 $ H_0:\theta \in \Theta_0 \subset \Theta $ 反對另一種假設 $ H_1:\theta \in \Theta_1=\Theta - \Theta_0 $ . 我知道如果它的冪函數測試被認為是“無偏的” $ \beta $ 滿足條件：

$$ \beta(\theta)\leq\alpha \hspace{0.3cm}\text{if}\hspace{0.3cm}\theta \in \Theta_0, $$ $$ \beta(\theta)\geq\alpha \hspace{0.3cm}\text{if}\hspace{0.3cm}\theta \in \Theta_1. $$

我理解定義，但我不明白這對測試意味著什麼？這是否意味著測試具有超出其應有的能力？您如何比較兩種測試的力量，一種是“有偏見的”，另一種是“無偏見的”？

這意味著當備選方案為真時，測試拒絕的概率（其能力）總是高於空值為真時的概率。

例如，假設您對 null 使用標準 t 檢驗反對替代方案. 標準拒絕規則如果（對於來自正態分佈的樣本或漸近分佈的樣本，當中心極限定理適用時）。

現在，假設您要使用該規則（如果） 去測試反對. 測試拒絕的概率將降低，因為在這種情況下我們很少會觀察到大的正 t 比率。特別是，這個測試是有偏見的，因為什麼時候.

具體來說，我們可以在正常情況下明確計算這個概率，， 和假定為簡單起見。然後，t 統計量為簡直就是和

因此，

趨向於 0. 圖形化：

theta.grid <- seq(-.8,.8,by=.01)
n <- seq(10,90,by=20)
power <- 1-pnorm(qnorm(.95)-outer(theta.grid,sqrt(n),"*"))
colors <- c("#DB2828", "#40AD64", "#E0B43A", "#2A49A1", "#7A7969")
matplot(theta.grid,power, type="l", lwd=2, lty=1, col=colors)
legend("topleft", legend=paste0("n=",n), col=colors, lty=1, lwd=2)
abline(h=0.05)

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/279162