可信區域和貝葉斯假設檢驗之間有什麼聯繫？
在頻率統計中，置信區間和檢驗之間存在密切聯繫。使用推斷μ在裡面ñ(μ,σ2)以分佈為例，1−一個置信區間 ˉX±噸一個/2(n−1)⋅s/√n
包含所有值μ未被拒絕的噸- 顯著性水平檢驗一個. 從這個意義上說，頻率論置信區間是倒置檢驗。（順便說一句，這意味著我們可以解釋p-value 作為最小值一個參數的空值將包含在1−一個置信區間。我發現這可能是一種有用的方式來解釋什麼p-values 確實適用於懂一點統計數據的人。）
閱讀有關貝葉斯可信區域的決策理論基礎時，我開始懷疑可信區域和貝葉斯檢驗之間是否存在類似的聯繫/等價性。
- 有一般的聯繫嗎？
- 如果沒有一般聯繫，有沒有聯繫的例子？
- 如果沒有普遍的聯繫，我們怎麼能看到這一點？
我設法提出了一個存在連接*的示例。*不過，這似乎很大程度上取決於我對損失函數的選擇和復合假設的使用。
我從一個一般示例開始，然後是一個涉及正態分佈的簡單特殊情況。
一般示例
對於未知參數θ， 讓θ是參數空間並考慮假設θ∈θ0與替代方案θ∈θ1=θ∖θ0.
讓披是一個測試函數，使用Xi’an的The Bayesian Choice中的符號（這有點倒退到我至少習慣的），所以我們拒絕θ0如果披=0並接受θ0如果披=1. 考慮損失函數 大號(θ,披)={0,如果 披=一世θ0(θ)一個0,如果 θ∈θ0 和 披=0一個1,如果 θ∈θ1 和 披=1.
然後是貝葉斯檢驗披圓周率(X)=1一世F磷(θ∈θ0|X)≥一個1(一個0+一個1)−1. 拿一個0=一個≤0.5和一個1=1−一個. 零假設θ0被接受，如果磷(θ∈θ0|X)≥1−一個.
現在，一個可靠的地區θC是一個區域，使得磷(θC|X)≥1−一個. 因此，根據定義，如果θ0是這樣的磷(θ∈θ0|X)≥1−一個,θC只有當磷(θ0∩θC|X)>0.
我們接受原假設，如果僅當每個 1−一個-可信區域包含一個非空子集θ0.
一個更簡單的特例
為了更好地說明我們在上面的示例中進行了什麼樣的測試，請考慮以下特殊情況。
讓X∼ñ(θ,1)和θ∼ñ(0,1). 放θ=R,θ0=(−∞,0]和θ1=(0,∞)，所以我們想測試是否θ≤0.
標準計算給出磷(θ≤0|X)=披(−X/√2),
在哪裡披(⋅)是標準的正常 cdf。 讓和1−一個是這樣的披(和1−一個)=1−一個.θ0被接受時−X/√2>和1−一個.
這相當於接受時X≤√2和一個.為了一個=0.05,θ0因此被拒絕時X>−2.33.
相反，如果我們使用先驗θ∼ñ(ν,1),θ0被拒絕時X>−2.33−ν.
評論
上面的損失函數，我們認為錯誤地接受原假設比錯誤地拒絕它更糟糕，乍一看似乎有點人為。然而，在“假陰性”可能代價高昂的情況下，例如在篩查危險的傳染病或恐怖分子時，它可能具有相當大的用途。
所有可信區域必須包含θ0實際上比我希望的要強一點：在常客的情況下，對應關係是單個測試和單個測試1−一個置信區間，而不是單個測試和所有測試之間1−一個間隔。