比較多組均值的 ANOVA 和比較嵌套模型的 ANOVA 之間有什麼關係？
到目前為止，我已經看到以兩種方式使用 ANOVA：
首先，在我的介紹性統計文本中，引入了方差分析作為比較三個或更多組的平均值的一種方法，作為對成對比較的改進，以確定其中一個平均值是否具有統計顯著性差異。
其次，在我的統計學習文本中，我看到 ANOVA 用於比較兩個（或更多）嵌套模型，以確定使用模型 2 預測變量子集的模型 1 是否同樣適合數據，或者是否完整模型 2 更勝一籌。
現在我假設在某種程度上，這兩件事實際上非常相似，因為它們都使用 ANOVA 測試，但從表面上看，它們對我來說似乎完全不同。一方面，第一種方法可以比較三個或更多組，而第二種方法只能比較兩個模型。有人介意闡明這兩種用途之間的聯繫嗎？
在我的理解中，ANOVA的抽象直覺如下：分解觀察變量在各個方向的方差來源，並研究各自的貢獻。更準確地說，將恆等映射分解為投影的總和，並研究哪些投影/方向對解釋方差有重要貢獻，哪些沒有。理論基礎是科克倫定理。
為了不那麼抽象，我將OP 提到的第二種形式轉換為剛剛描述的框架。隨後，我將第一種形式解釋為第二種形式的特例。
讓我們考慮一個回歸模型解釋變量（完整模型）並將其與受限模型進行比較變量。WLOG，最後一個完整模型的變量不包含在受限模型中。ANOVA回答的問題是
“如果我們包括附加變量”？
通過比較第一個的方差貢獻來回答這個問題變量，下一個變量，以及餘數/無法解釋的部分（殘差平方和）。這種分解（例如從 Cochran 定理獲得）用於構建 F 檢驗。因此，我們分析了受限模型（對應於 與最後一個相關的所有係數變量為零）通過包含更多變量並獲得 F 統計量
如果值足夠大，則附加解釋的方差變量是顯著的。 現在，OP 提到的第一種形式被解釋為****第二種形式的特例。考慮三個不同的組 A、B 和 C,， 和. 這通過比較截距回歸解釋的方差（受限模型）與包含截距的完整模型解釋的方差、組 A 的虛擬變量和組 B 的虛擬變量進行測試。得到的 F 統計量
相當於Wikipedia上的 ANOVA-test 。分母等於組內變異，分子等於組間變異。如果組間的變異大於組內的變異，則拒絕所有均值相等的假設。