為什麼 Pearson 相關係數的檢驗統計量是rn-2√1-r2√rn-21-r2frac {rsqrt{n-2}}{sqrt{1-r^2}}

我正在學習皮爾遜相關係數的假設檢驗。消息來源沒有解釋為什麼測試統計$$ \frac {r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}} $$滿足 T 分佈 $ n-2 $ 自由度。

誰能告訴我假設和證明？

（提供問題的答案）

當線性回歸中的殘差呈正態分佈時，最小二乘參數 $ \hat{\beta} $ 是正態分佈的。當然，當必須從樣本中估計殘差的方差時， $ \hat{\beta} $ 在原假設下是 $ t $ 和 $ n-p $ 自由程度 （ $ p $ 模型的尺寸，通常為斜率和截距兩個）。

根據@Dason 的鏈接， $ t $ 皮爾遜相關係數可以被證明在數學上等價於 $ t $ 通過以下方式測試最小二乘回歸參數的統計量：

$$ t = \frac{\hat{\beta}}{\sqrt{\frac{\text{MSE}}{\sum (X_i - \bar{X})^2}}}= \frac{r (S_y / S_x)}{\sqrt{\frac{(n-1)(1-r^2)S_y^2}{(n-2)(n-1)S_x^2}}}=\frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}} $$

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/270612