有人解決了 PTLOS 練習 4.1 嗎？
這是概率論中給出的練習：Edwin Jaynes 的科學邏輯，2003 年。這裡有一個部分解決方案。我已經制定了一個更通用的部分解決方案，並且想知道是否有其他人解決了它。在發布我的答案之前，我會稍等片刻，讓其他人試一試。
好的，假設我們有互斥且窮舉的假設，表示為. 進一步假設我們有數據集，表示為. 第 i 個假設的似然比由下式給出：
請注意，這些是條件概率。現在假設給定第 i 個假設這數據集是獨立的，所以我們有：
現在如果分母也考慮這種情況會很方便，所以我們有：
因為在這種情況下，似然比將拆分為每個數據集的較小因子的乘積，因此我們有：
所以在這種情況下，每個數據集都會“投票支持”或“投反對票" 獨立於任何其他數據集。
練習是為了證明如果（多於兩個假設），沒有這種非平凡的方式可以發生這種因式分解。也就是說，如果您假設條件 1 和條件 2 成立，那麼至多有一個因素：
不同於 1，因此只有 1 個數據集將有助於似然比。 我個人覺得這個結果非常有趣，因為它基本上表明多重假設檢驗不過是一系列二元假設檢驗。
作為記錄，這裡有一個更廣泛的證明。它還包含一些背景信息。也許這對其他研究該主題的人有所幫助。
證明的主要思想是證明 Jaynes 的條件 1 和 2 意味著 $$ P(D_{m_k}|H_iX)=P(D_{m_k}|X), $$ 除一個數據集外的所有數據集 $ m_k=1,\ldots,m $ . 然後它表明對於所有這些數據集，我們也有 $$ P(D_{m_k}|\overline H_iX)=P(D_{m_k}|X). $$ 因此，除了一個數據集外，我們擁有所有數據集， $$ \frac{P(D_{m_k}|H_iX)}{P(D_{m_k}|\overline H_iX)} = \frac{P(D_{m_k}|X)}{P(D_{m_k}|X)} = 1. $$ 我想在此處包含證明的原因是所涉及的某些步驟並不明顯，並且需要注意不要使用除條件 1 和 2 以及乘積規則之外的任何其他內容（與許多其他證明一樣）隱含地做）。上面的鏈接詳細包含了所有這些步驟。它在我的 Google Drive 上，我會確保它保持可訪問性。