連續函數的積分極限
如何評估以下限制- $$ \lim_{n \to \infty} \int_0^1 \int_0^1\cdots\int_0^1 f \bigg(\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \bigg) dx_1 dx_2….dx_n $$.
這裡 $ f() $ 是一個連續函數 $ f:[0,1] \to \mathbb{R} $ . 這種集成是否有任何界限，或者這將嚴格評估為某個值？
顯然，積分可以改寫為 $ E[f(Y_n)] $ ， 在哪裡 $ Y_n = \frac{1}{n}(X_1 + \cdots + X_n) $ ， 和 $ X_1, \ldots, X_n \text{ i.i.d.} \sim U(0, 1) $ . 根據（弱）大數定律，我們有 $ Y_n \to_d \frac{1}{2} $ . 這意味著，通過portmanteau 引理對於任何有界和連續函數 $ h $ ， 我們有 $ E[h(Y_n)] \to E[h(1/2)] = h(1/2) $ 作為 $ n \to \infty $ .
這 $ f $ 在您的問題中滿足有界性和連續性條件（將其域擴展到 $ \mathbb{R} $ 如果你想要更嚴謹），所以答案是 $ f(1/2) $ .
$ \newcommand{\eps}{\varepsilon} $
正如@whuber 所建議的，有一個非概率論點，如下所示。
對於任意給定 $ \eps > 0 $ ， 自從 $ f $ 是連續的 $ 1/2 $ ， 那裡存在 $ \delta > 0 $ 這樣 $ |f(x) - f(1/2)| < \eps $ 每當 $ |x - 1/2| < \delta $ . 另外，由於 $ f $ 是連續的 $ [0, 1] $ ， 那裡存在 $ M > 0 $ 這樣 $ |f| \leq M $ 對所有人 $ x \in [0, 1] $ . （確實，從下面的證明中我們可以看出，原來的連續性條件可能被弱化為 $ f $ 是連續的 $ 1/2 $ 並且它是順序可積的）。
為了符號簡潔，對於 $ 0 \leq x_1, \ldots, x_n \leq 1 $ , 表示 $ x_1 + \cdots + x_n $ 經過 $ s_n $ ， 該區域 $ [0, 1] \times \cdots \times [0, 1] $ 經過 $ V_n $ , 和區域 $ {(x_1, \ldots, x_n): |n^{-1}s_n - 1/2| \geq \delta} $ 經過 $ V_{n,\delta} $ . 也表示 $ dx_1\cdots dx_n $ 經過 $ dx $ ， 然後 $$ \begin{align*} &\left|\int_{V_n} f(n^{-1}s_n) dx - f(1/2)\right| \leq \int_{V_n} |f(n^{-1}s_n) dx - f(1/2)| dx \ =& \int_{V_{n, \delta}} |f(n^{-1}s_n) - f(1/2)| dx + \int_{V_{n, \delta}^c} |f(n^{-1}s_n) - f(1/2)| dx \ <& \int_{V_{n, \delta}} |f(n^{-1}s_n) - f(1/2)| dx + \eps \leq 2M\int_{V_{n, \delta}} dx + \eps. \end{align*} $$ 通過設置。所以它仍然顯示音量 $ V_{n, \delta} $ 可以任意小 $ n $ 足夠大。
為此，切比雪夫不等式（或重複其證明本質）意味著 $$ \begin{align*} & \int_{V_{n, \delta}} dx \leq \delta^{-2}\int_{V_n}(n^{-1}s_n - 1/2)^2 dx \ =& \delta^{-2}\int_{V_n}\left(n^{-2}s_n^2 - n^{-1}s_n + \frac{1}{4}\right) dx \ =& \delta^{-2}\left(n^{-2}\sum_{i = 1}^n \int_{V_n}x_i^2 dx + 2n^{-2}\sum_{1 \leq i < j \leq n}\int_{V_n}x_ix_j dx - n^{-1}\sum_{i = 1}^n\int_{V_n}x_i dx + \frac{1}{4}\right) \ =& \delta^{-2}\left(\frac{1}{3n} + 2n^{-2} \times \frac{n(n - 1)}{2} \times \frac{1}{4} - n^{-1}\times \frac{n}{2} + \frac{1}{4}\right) \ =& \frac{1}{12n\delta^2} \to 0 \end{align*} $$ 作為 $ n \to \infty $ ，這就是我們想要展示的。