連續函數的積分極限
如何評估以下限制- limn→∞∫10∫10⋯∫10f(x1+x2+⋯+xnn)dx1dx2….dxn
.這裡 f() 是一個連續函數 f:[0,1]→R . 這種集成是否有任何界限，或者這將嚴格評估為某個值？
顯然，積分可以改寫為 E[f(Yn)] ， 在哪裡 Yn=1n(X1+⋯+Xn) ， 和 X1,…,Xn i.i.d.∼U(0,1) . 根據（弱）大數定律，我們有 Yn→d12 . 這意味著，通過portmanteau 引理對於任何有界和連續函數 h ， 我們有 E[h(Yn)]→E[h(1/2)]=h(1/2) 作為 n→∞ .
這 f 在您的問題中滿足有界性和連續性條件（將其域擴展到 R 如果你想要更嚴謹），所以答案是 f(1/2) .
正如@whuber 所建議的，有一個非概率論點，如下所示。
對於任意給定 ε>0 ， 自從 f 是連續的 1/2 ， 那裡存在 δ>0 這樣 |f(x)−f(1/2)|<ε 每當 |x−1/2|<δ . 另外，由於 f 是連續的 [0,1] ， 那裡存在 M>0 這樣 |f|≤M 對所有人 x∈[0,1] . （確實，從下面的證明中我們可以看出，原來的連續性條件可能被弱化為 f 是連續的 1/2 並且它是順序可積的）。
為了符號簡潔，對於 0≤x1,…,xn≤1 , 表示 x1+⋯+xn 經過 sn ， 該區域 [0,1]×⋯×[0,1] 經過 Vn , 和區域 (x1,…,xn):|n−1sn−1/2|≥δ 經過 Vn,δ . 也表示 dx1⋯dxn 經過 dx ， 然後 |∫Vnf(n−1sn)dx−f(1/2)|≤∫Vn|f(n−1sn)dx−f(1/2)|dx =∫Vn,δ|f(n−1sn)−f(1/2)|dx+∫Vcn,δ|f(n−1sn)−f(1/2)|dx <∫Vn,δ|f(n−1sn)−f(1/2)|dx+ε≤2M∫Vn,δdx+ε.
通過設置。所以它仍然顯示音量 Vn,δ 可以任意小 n 足夠大。為此，切比雪夫不等式（或重複其證明本質）意味著 ∫Vn,δdx≤δ−2∫Vn(n−1sn−1/2)2dx =δ−2∫Vn(n−2s2n−n−1sn+14)dx =δ−2(n−2n∑i=1∫Vnx2idx+2n−2∑1≤i<j≤n∫Vnxixjdx−n−1n∑i=1∫Vnxidx+14) =δ−2(13n+2n−2×n(n−1)2×14−n−1×n2+14) =112nδ2→0
作為 n→∞ ，這就是我們想要展示的。