Box-Cox 變換背後的直覺
對於嚴重偏斜的特徵，變換技術有助於穩定方差，使數據更像正態分佈，提高關聯度量的有效性。
我真的很難理解 Box-Cox 變換背後的直覺。我的意思是如何為平方根和對數轉換以及估計 lambda 配置數據轉換方法。
誰能用簡單的話（也許還有一個例子）解釋一下 Box-Cox 變換背後的直覺是什麼
非負數據的 Box-Cox 變換系列的設計目標是：
- 公式應該簡單、直接、易於理解且易於計算。
- 他們不應該對數據中間有太大的改變，但對尾部的影響更大。
- 該族應該足夠豐富，以在必要時引起數據偏度的大變化：這意味著它應該能夠收縮或擴展數據的一條尾部，同時擴展或收縮另一條尾部，任意數量。
讓我們依次考慮每一個的含義。
1.簡單
線性變換——那些形式 x→αx+β 對於常數 α 和 β –僅僅改變數據的規模和位置；它們不能改變分佈的形狀。 下一個最簡單的公式是考慮冪變換，形式為 x→xλ 對於（非零）常數 λ.
2. 穩定性
冪變換具有很好的特性，即重新調整數據會導致重新調整其冪。也就是說，將數據相乘 x 通過一些正比例因子 α 結果成倍增加 xλ 經過 αλ. 好的，它不是相同的比例因子，但它仍然只是一個重新縮放。
鑑於此，讓我們始終對任何一批數據進行標準化 (x1,x2,…,xn) 通過重新調整它以將其中心（也許是它的中位數）放置在 1. 具體來說，這取代了每個 xi 經過 xi 除以所有的中間值 x 的。這不會改變數據分佈的形狀——它實際上相當於選擇了一個合適的度量單位來表達這些值。對於那些喜歡公式的人，讓 μ 是批次的中位數。我們將研究轉變
x→(x/μ)λ−1λ=μ−λλ,xλ+−1λ=α,xλ+β
對於各種 λ. 的影響 α 和 β （這取決於 λ 和 μ ） 在 xλ 不要改變分佈的形狀 xλi. 從這個意義上說，標準化數據的 Box-Cox 變換實際上只是冪變換。
因為我們做了 1 批次的中心值，設計標準 2——“穩定性”——要求不同的功率值 λ 對附近的值影響相對較小 1.
讓我們通過檢查冪對附近數字的作用來更詳細地了解這一點 1. 根據二項式定理，如果我們寫 x 作為 x=1+ϵ （對於相當小的 ϵ )，然後大約
(1+ϵ)λ=1+λϵ+Something×ϵ2.
忽略 ϵ2 真的很小，這告訴我們
奪權 λ 一個數 x 靠近 1 是一個幾乎線性的函數，它改變之間的距離 x 和 1 通過一個因素 λ.
有鑑於此，我們可以匹配不同可能的效果 λ 通過距離的補償劃分 λ. 也就是說，我們將使用
BCλ(x)=xλ−1λλ=xλ−1λ.
分子是冪變換之間的（有符號）距離 x 以及數據中間的冪變換（ 1 ); 分母根據擴展進行調整 x−1 因數 λ 掌權時。 BCλ 是帶參數的 Box-Cox 變換 λ.
通過這種結構，我們保證當 x 接近其批次數據的典型值， BCλ(x) 無論如何，將近似為相同的值（並且接近於零） λ 可能是（當然，在合理範圍內： λ 可以做極端的事情）。
3. 靈活性
我們有很多可能的值 λ 從中選擇。它們有何不同？
這可以通過繪製各種 Box-Cox 變換來探索 λ. 這是一組圖表 λ∈−1,−1/2,0,1/2,1,2. （對於意義 λ=0, 請參閱本網站其他地方的自然對數近似。）
黑色實線描繪了 Box-Cox 變換 λ=1, 這只是 x→x−1. 它只是將批次的中心移動到 0 （就像所有的 Box-Cox 變換一樣）。向上彎曲的粉紅色圖形用於 λ=2. 向下彎曲的圖顯示，按照曲率增加的順序，較小的值 λ 向下 −1.
不同的曲率量和方向為改變一批數據的形狀提供了所需的靈活性。
例如，向上曲線圖 λ=2 舉例說明了所有 Box-Cox 變換的效果 λ 超過 1: 的值 x 多於 1 （即，大於批次的中間，因此在其上尾）被拉得越來越遠離新的中間（在 0 ）。的價值觀 x 以下 1 （小於批次的中間，因此在其較低的尾部）被推到更靠近新的中間。這會使數據向右或高值“傾斜”（相當強烈，即使對於 λ=2 ).
向下彎曲的圖，對於 λ<1, 具有相反的效果：它們將批次中的較高值推向新的中間值，並將較低的值拉離新的中間值。這會使數據向左（或更低的值）傾斜。
該點附近所有圖形的重合度 (1,0) 是先前標準化的結果：它構成了視覺驗證，即選擇 λ 對於批次中間附近的值幾乎沒有什麼區別。
最後，讓我們看看不同的 Box-Cox 變換對一小批數據做了什麼。
轉換後的值由水平位置表示。（原始數據看起來就像黑點，顯示在 λ=1, 但位於 +1 右側的單位。）顏色對應於第一個圖中使用的顏色。底層的灰線顯示了轉換後的值在以下情況下會發生什麼 λ 平滑地從 −1 到 +2. 這是了解這些轉換對數據尾部的影響的另一種方式。（這也說明了為什麼 λ=0 有意義：它對應於取值 λ 任意接近 0. )
