固定效應假人和固定效應估計器之間的區別？
我開始閱讀有關面板回歸模型的信息。但是，我對固定效應模型中的不同模型規格有點困惑：
固定效應面板回歸是否總是意味著我為橫截面（例如，對於我的樣本中的每個國家）引入虛擬變量，然後運行例如 OLS 估計？
在回歸模型中添加固定效應虛擬變量和固定效應估計器有什麼區別？
謝謝你的幫助！
為了看到相等性，讓我們首先推導出 FE 估計量。
定義殘差製造者矩陣 $$ \begin{align*} \underset{(M\times M)}{\mathbf{Q}}&:=\mathbf{I}_M-\mathbf{1}_M(\mathbf{1}_M'\mathbf{1}_M)^{-1}\mathbf{1}_M'\ &=\mathbf{I}_M-\left(% \begin{array}{ccc} 1/M & \cdots & 1/M \ \vdots & \ddots & \vdots \ 1/M & \cdots & 1/M \ \end{array}% \right)\mathbf{1}_M\mathbf{1}_M', \end{align*} $$ 在哪裡 $ M $ 表示面板中每個單位的觀察次數。
與預乘 $ \mathbf{Q} $ 居中 $ \mathbf{y}_i $ 和 $ \mathbf{Z}_i $ 在他們的平均水平附近 $ m $ , $$ \begin{align*} \mathbf{Q}\mathbf{y}_i&=\mathbf{y}_i-\mathbf{1}_M\mathbf{1}_M'\mathbf{y}_i/M\&=\mathbf{y}_i-\mathbf{1}M\overline{y{i}}. \end{align*} $$ 這也意味著回歸變量集中的每次不變變量 $ \mathbf{Z}_i $ 變成一列零，因此從數據中消除。
這是 FE 估計器的一個嚴重缺點。考慮一組員工的工資回歸示例。性別或學校教育等變量是主要關注點，但（通常）不會隨時間而變化（不再）。
作為 $ \mathbf{Q}\mathbf{1}_M=\mathbf{0} $ ，我們有，使用誤差分量模型 $ \mathbf{y}_i=\mathbf{Z}_i\mathbf{\delta}+\mathbf{1}M\alpha_i+\mathbf{\eta}{i} $ ， 在哪裡 $ \eta_i $ 表示 $ M $ - 特殊時變誤差向量， $$ \begin{align*} \mathbf{Q}\mathbf{y}_i&=\mathbf{Q}\mathbf{F}i\mathbf{\beta}+\mathbf{Q}\mathbf{\eta}{i}\qquad i=1,\ldots,n\ \tilde{\mathbf{y}}_i&\equiv\tilde{\mathbf{F}}i\mathbf{\beta}+\tilde{\mathbf{\eta}}{i}, \end{align*} $$ 在哪裡 $ \mathbf{F}_i $ 是個 $ (M\times L_b) $ -時變回歸量的觀察矩陣。將觀察結果疊加在 $ n $ 單位給出 $$ \underset{(Mn\times 1)}{\tilde{\mathbf{y}}}:=\left(% \begin{array}{c} \tilde{\mathbf{y}}_1 \ \vdots \ \tilde{\mathbf{y}}_n \ \end{array}% \right)\qquad\underset{(Mn\times L_b)}{\tilde{\mathbf{F}}}:=\left(% \begin{array}{c} \tilde{\mathbf{F}}_1 \ \vdots \ \tilde{\mathbf{F}}_n \ \end{array}% \right) $$
FE 估計器只是應用於這些的 OLS $ Mn $ 意見： $$ \begin{align*} \widehat{\mathbf{\beta}}_{\text{FE}}&=(\tilde{\mathbf{F}}'\tilde{\mathbf{F}})^{-1}\tilde{\mathbf{F}}'\tilde{\mathbf{y}} \end{align*} $$
要查看 FE 和最小二乘虛擬變量之間的相等性，請進一步疊加觀察結果： $$ \begin{equation} \underset{(Mn\times 1)}{\mathbf{y}}:=\left(% \begin{array}{c} \mathbf{y}_1 \ \vdots \ \mathbf{y}_n \ \end{array}% \right);\underset{(Mn\times L_b)}{\mathbf{F}}:=\left(% \begin{array}{c} \mathbf{F}_1 \ \vdots \ \mathbf{F}_n \ \end{array}% \right) \end{equation} $$ 和 $$ \begin{equation} \underset{(Mn\times 1)}{\mathbf{\eta}}:=\left(% \begin{array}{c} \mathbf{\eta}_1 \ \vdots \ \mathbf{\eta}_n \ \end{array}% \right); \underset{(n\times 1)}{\mathbf{\alpha}}:=\left(% \begin{array}{c} \alpha_1 \ \vdots \ \alpha_n \ \end{array}% \right). \end{equation} $$
此外，讓 $$ \underset{(Mn\times n)}{\mathbf{D}}:=\mathbf{I}_n\otimes\mathbf{1}_M=\left(% \begin{array}{ccc} \mathbf{1}_M & & \mathbf{O} \ & \ddots & \ \mathbf{O}& & \mathbf{1}_M \ \end{array} \right) $$
然後，在矩陣符號中的誤差分量假設下獲得線性面板數據模型： $$ \mathbf{y}=\mathbf{D}\mathbf{\alpha}+\mathbf{F}\mathbf{\beta}+\mathbf{\eta}, $$ 一個虛擬變量模型。
也就是說，我們也可以得到一個估計量 $ \mathbf{\beta} $ 從回歸量的 OLS 回歸和 $ n $ 個別具體效果。
現在，請注意 Frisch-Waugh-Lovell 定理表示 $ \mathbf{\beta} $ 可以通過回歸找到 $ \mathbf{M}{\mathbf{D}}\mathbf{y} $ 在 $ \mathbf{M}{\mathbf{D}}\mathbf{F} $ ， 在哪裡 $$ \underset{(Mn\times Mn)}{\mathbf{M}{\mathbf{D}}}:=\mathbf{I}-\mathbf{D}(\mathbf{D}'\mathbf{D})^{-1}\mathbf{D}' $$ 使用對稱性和冪等性 $ \mathbf{M}{\mathbf{D}} $ 給 $$ \begin{equation} \widehat{\mathbf{\beta}}{\text{LSDV}}=(\mathbf{F}'\mathbf{M}{\mathbf{D}}\mathbf{F})^{-1}\mathbf{F}'\mathbf{M}_{\mathbf{D}}\mathbf{y} \end{equation} $$
現在， $$ \begin{align*} \mathbf{M}{\mathbf{D}}&=\mathbf{I}{Mn}-(\mathbf{I}_n\otimes\mathbf{1}_M)[(\mathbf{I}_n\otimes\mathbf{1}_M)'(\mathbf{I}_n\otimes\mathbf{1}_M)]^{-1}(\mathbf{I}n\otimes\mathbf{1}M)'\ &=\mathbf{I}{n}\otimes\mathbf{I}{M}-(\mathbf{I}_n\otimes\mathbf{1}_M)[(\mathbf{I}_n\otimes\mathbf{1}_M')(\mathbf{I}_n\otimes\mathbf{1}_M)]^{-1}(\mathbf{I}n\otimes\mathbf{1}M')\ &=\mathbf{I}{n}\otimes\mathbf{I}{M}-(\mathbf{I}_n\otimes\mathbf{1}_M)[\mathbf{I}_n\otimes\mathbf{1}_M'\mathbf{1}_M]^{-1}(\mathbf{I}n\otimes\mathbf{1}M')\ &=\mathbf{I}{n}\otimes\mathbf{I}{M}-(\mathbf{I}_n\otimes\mathbf{1}_M)[\mathbf{I}_n\otimes M]^{-1}(\mathbf{I}n\otimes\mathbf{1}M')\ &=\mathbf{I}{n}\otimes\mathbf{I}{M}-(\mathbf{I}n\otimes\mathbf{1}M)\left\mathbf{I}_n\otimes \frac{1}{M}\right\ &=\mathbf{I}{n}\otimes\mathbf{I}{M}-(\mathbf{I}_n\otimes\mathbf{1}_M)\left[\mathbf{I}n\otimes \frac{1}{M}\mathbf{1}M'\right]\ &=\mathbf{I}{n}\otimes\mathbf{I}{M}-\mathbf{I}_n\otimes\mathbf{1}M\frac{1}{M}\mathbf{1}M'\ &=\mathbf{I}{n}\otimes\left(\mathbf{I}{M}-\frac{1}{M}\mathbf{1}_M\mathbf{1}_M'\right)\ &=\mathbf{I}_n\otimes\mathbf{Q} \end{align*} $$
因此， $$ \begin{align*} \mathbf{M}{\mathbf{D}}\mathbf{F}&=(\mathbf{I}n\otimes\mathbf{Q})\mathbf{F}\ &=\left(% \begin{array}{ccc} \mathbf{Q} & & \ & \ddots & \ & & \mathbf{Q} \ \end{array} \right)\mathbf{F}\ &=\tilde{\mathbf{F}}, \end{align*} $$ 以便$$ \widehat{\mathbf{\beta}}{\text{LSDV}}=\widehat{\mathbf{\beta}}{{FE}}. $$
順便說一句，雖然符號適用於平衡面板數據，但結果也適用於不平衡的情況，因為可以使用更複雜的符號或以下數字說明進行檢查：
library(plm) # panel dimensions n <- 10 m <- sample(2:4, n, replace=T) # unbalanced panel # some data alpha <- runif(n) beta <- -2 y <- X <- y.d <- X.d <- c() D <- matrix(0, sum(m), n) # for the dummy variable matrix row.counter <- 0 for (i in 1:n) { X.n <- runif(m[i],i,i+1) X.d <- c(X.d, X.n - mean(X.n)) X <- c(X,X.n) y.n <- alpha[i] + X.n*beta + rnorm(m[i]) y <- c(y, y.n) y.d <- c(y.d, y.n - mean(y.n)) D[(row.counter+1):(row.counter+m[i]), i] <- rep(1, m[i]) row.counter <- row.counter + m[i] }輸出：
> # plm > paneldata <- data.frame(rep(1:n, times=m), unlist(sapply(m, function(i) 1:i)), y, X) # first two columns are for plm to understand the panel .... [TRUNCATED] > FE <- plm(y~X, data = paneldata, model = "within") > # results: > coef(FE) # the slope coefficient X -2.331847 > fixef(FE) # the intercepts 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.99396 2.30328 1.90957 2.22670 1.09438 3.10411 2.03265 4.39759 4.42384 4.15294 > # FWL > lm(y.d~X.d-1) # just the slope in this formulation Call: lm(formula = y.d ~ X.d - 1) Coefficients: X.d -2.332 > # LSDV > lm(y~D+X-1) # intercepts and slope Call: lm(formula = y ~ D + X - 1) Coefficients: D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 X 0.994 2.303 1.910 2.227 1.094 3.104 2.033 4.398 4.424 4.153 -2.332