Logistic
邏輯函數從何而來？
我首先在機器學習中學習了邏輯函數，它只是一個將實數映射到 0 到 1 的函數。我們可以使用微積分來獲得導數，並使用它進行一些優化，最終得到一些二元分類器。
後來，我在統計文獻中了解到它，其中有賠率、對數賠率和一堆概率解釋。
今天我正在回顧一些微分方程文獻，發現邏輯函數是以下系統的解決方案：
$ y'=y(1-y) $ ， 和 $ y(0)=0.5 $ .
所以，我的問題更像是一個“雞和蛋”的問題：邏輯函數從何而來？我們首先有函數還是 ODE？
我從 Strogatz 的書中讀到，它起源於 Verhulst 在 1838 年對人口進行建模。假設人口規模為 $ N(t) $ ，則人均增長率為 $ \dot N(t)/N(t) $ . 假設人均增長率隨人口規模線性下降，我們可以得到如下形式的邏輯方程： $$ \dot N(t)=rN(1-\frac{N}{K}), $$ 在哪裡 $ K $ 是環境的承載能力。從方程中我們可以看出，當 $ N $ 非常小，人口大約呈指數增長。作為 $ N $ 增長到容量的一半，導數 $ \dot N $ 仍在增加但放緩。一次 $ N $ 通過半線，導數減小，因此我們可以看到一條彎曲曲線（有趣的是，我們可以從累積冠狀病毒病例的彎曲曲線中非常粗略地看到這種趨勢）並且人口漸近地接近容量。到目前為止，我們觀察了邏輯函數的屬性。直覺上，當 $ N $ 容量越大，人口越少。通過對方程的進一步數學簡化，我們有一個這樣的方程： $$ \frac{df(x)}{dx}=f(x)(1-f(x)), $$ 其解析獨奏為： $$ f(x)=\frac{e^x}{e^x + C}. $$ 和 $ C=1 $ 我們有邏輯函數。