時刻和=X1+X2X3+X4X5X6+⋯和=X1+X2X3+X4X5X6+⋯Y=X_1 + X_2 X_3 + X_4 X_5 X_6 +cdots
這 Xi 是 iid 並且 X 表示這些隨機變量中的任何一個。我們在這裡假設 |E(X)|<1 以保證收斂。我對第三個時刻特別感興趣 E(Y3) . 對於前兩個時刻，我們有（見這裡）：
E(Y)=E(X)1−E(X), Var(Y)=Var(X)(1−E2(X))(1−E(X2)).
我感興趣的原因如下。讓 Z=X1+X1X2+X1X2X3+⋯.
如果 E(X)=0 ， 然後 E(Y)=E(Z) 和 E(Y2)=E(Z2) ，請看這裡。我希望這對於更高的時刻不再適用，也就是說， E(Y3)≠E(Z3) . 最終，這就是我想證明的。雖然前兩個時刻不足以使模型可識別（ Y 對比 Z ) 我希望通過使用前三個矩作為模型參數，這足以區分 Y 和 Z ，從而使模型可識別。注意 E(Z3)=E(X3)(1+3E(Z)+3E(Z2))1−E(X3).
結果為 E(Z3) 來自第 4.2 節。在這篇文章中。更新
一種可能的計算方法 E(Yn) 如下。定義 Yk 作為第一個的總和 k 條款在 Y=X1+X2X3+X4X5X6+⋯ . 然後 Yk+1=Yk+Vk+1 和 Vk+1 作為一個產品 k+1 具有相同分佈的獨立同分佈隨機變量 X . 還， Yk 和 Vk+1 是獨立的。因此
E(Ynk+1)=n∑i=0n!i!(n−i)!E(Yik)(E(Xn−i))k+1.
我們可以專注於案例 n=3 首先。上述遞歸關係（如果正確）可能會導致解決方案。我們對此案感興趣 k→∞ ， 作為 Yk→Y （在分發中。）我們還有以下遞歸：
E(Ynk+1)=E(Yk⋅Yn−1k+1)+(E(X))k+1⋅E(Yn−1k+1).
更新 2
如果 X 有分佈 P(X=−0.5)=0.5,P(X=0.5)=0.5 然後兩者 Y,Z 具有相同的均勻分佈 [−1,1] . 那麼就不可能區分模型 Y 要么 Z .
我也看了case X = 正常 (0,1/4) . 的差異 Y 要么 Z 都與預期相同，由經驗證據證實，並且都等於 1/3 正如預期的那樣。然而，更高的時刻是不同的。下面是顯示經驗百分位數分佈的圖表，比較 Y （藍色）對比 Z （紅色），如果 X 是正常的 (0,1/4) . 它們明顯不同。
讓 t1=X1 和 t2=X2X3 等，所以 Y=∑iti . 然後在 Mathematica 的幫助下（像這樣）：
E[Y3]=E[6∑i<j<ktitjtk+3∑i≠jt2itj+∑it3i] =6∑i<j<kE[X]i+j+k+3∑i≠jE[X2]iE[X]j+∑iE[X3]i =6E[X]6(1−E[X])(1−E[X]2)(1−E[X]3) \[−10pt] +3E[X]E[X2](1−E[X])(1−E[X2])−3E[X]E[X2]1−E[X]E[X2]+E[X3]1−E[X3]
為了 Z ，我們同樣可以讓 u1=X1 和 u2=X1X2 等，所以 Z=∑iui . 然後：
E[Z3]=E[6∑i<j<kuiujuk+3∑i≠ju2iuj+∑iu3i] =6∑i<j<kE[X3]iE[X2]j−iE[X]k−j+3∑i<jE[X3]iE[X]j−i +3∑i>jE[X3]jE[X2]i−j+∑iE[X3]i =s3(6s2s1+3s1+3s2+1)
在哪裡 sn=∑iE[Xn]i=E[Xn]/(1−E[Xn]) .