中兩個隨機單位向量的標量積分佈𝐷DD方面

如果 x 和 y 是兩個獨立的隨機單位向量 RD （均勻分佈在單位球面上），它們的標量積（點積）的分佈是什麼 x⋅y ?

我想作為 D 分佈迅速增長 (?) 變為正態，均值為零，方差在更高維度上減小limD→∞σ2(D)→0,

但是否有明確的公式 σ2(D) ?

更新

我進行了一些快速模擬。首先，生成 10000 對隨機單位向量 D=1000 很容易看出他們的點積的分佈是完美的高斯分佈（事實上它已經是相當高斯的了） D=100 )，請參見左側的子圖。二、對於每個 D 範圍從 1 到 10000（步長增加）我生成了 1000 對併計算了方差。對數圖顯示在右側，很明顯該公式非常近似於 1/D . 請注意，對於 D=1 和 D=2 這個公式甚至給出了準確的結果（但我不確定以後會發生什麼）。

因為（眾所周知）單位球面上的均勻分佈 SD−1 是通過歸一化 a D - 變量正態分佈和點積 t 歸一化向量的相關係數是它們的相關係數，這三個問題的答案是：

1. u=(t+1)/2 有一個 Beta ((D−1)/2,(D−1)/2) 分配。
2. 的方差 t 等於 1/D （如問題中推測的那樣）。
3. 標準化分佈 t 以接近正常的速度 O(1D).

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方法

單位向量的點積的精確分佈很容易從幾何上獲得，因為這是第二個向量在第一個向量的方向上的分量。由於第二個向量獨立於第一個向量並且均勻分佈在單位球面上，它在第一方向的分量與球面的任何坐標分佈相同。（請注意，第一個向量的分佈無關緊要。）

尋找密度

讓那個坐標是最後一個，密度在 t∈[−1,1] 因此與位於之間高度的表面積成正比 t 和 t+dt 在單位球面上。這個比例發生在一個高度帶內 dt 和半徑 √1−t2, 它本質上是一個圓錐台，由一個 SD−2 半徑 √1−t2, 高度 dt , 和斜率 1/√1−t2 . 概率與

(√1−t2)D−2√1−t2,dt=(1−t2)(D−3)/2dt.

讓 u=(t+1)/2∈[0,1] 包含 t=2u−1 . 將其代入前面給出了一個歸一化常數的概率元素：

fD(u)du;∝;(1−(2u−1)2)(D−3)/2d(2u−1)=2D−2(u−u2)(D−3)/2du.

這是立即的 **u=(t+1)/2 有一個 Beta ((D−1)/2,(D−1)/2) 分佈，**因為（根據定義）它的密度也與

u(D−1)/2−1(1−u)(D−1)/2−1=(u−u2)(D−3)/2;∝;fD(u).

確定限制行為

使用基本技術很容易從中得出有關限制行為的信息： fD 可以積分得到比例常數 Γ(D2)√πΓ(D−12) ; tkfD(t) 可以積分（例如使用 Beta 函數的屬性）以獲得矩，表明方差為 1/D 並縮小到 0 （因此，根據切比雪夫定理，概率變得集中在 t=0 ); 然後通過考慮標準化分佈的密度值來找到極限分佈，與 fD(t/√D), 對於小值 t ：

log(fD(t/√D))=C(D)+D−32log(1−t2D) =C(D)−(1/2+32D)t2+O(t4D) →C−12t2

在哪裡 C ' 表示 (log) 積分常數。顯然這是接近正態性的速率（對數密度等於 −12t2 ） 是 O(1D).

該圖顯示了點積的密度 D=4,6,10 ，標準化為單位方差，以及它們的極限密度。值在 0 增加 D （從藍色到紅色、金色，然後是標準正常密度的綠色）。密度為 D=1000 在此分辨率下與正常密度無法區分。

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/85916