Mathematical-Statistics
在所有可以模擬二元選舉的“合理”分佈中，二項分佈是否具有最小的方差？
想像一場選舉人們做出二元選擇：他們投票支持 A 或反對它。結果是人們投票給 A，所以 A 的結果是.
如果我想對這些選舉進行建模，我可以假設每個人都以概率獨立投票給 A，導致選票的二項式分佈：
這種分佈具有平均和方差. 我也可以做出其他假設。例如，我可以假設概率本身是來自某個分佈（例如 beta）的隨機變量；這可能導致 A 的選票出現 beta 二項式分佈。或者我可以假設人們分組投票，其中每組人們做出相同的選擇，並且概率為 A. 這將導致方差較大的二項分佈。在所有這些情況下，所得分佈的方差都大於最簡單的二項式方案。
**我可以聲稱二項式分佈的方差最小嗎？**換句話說，這種說法能否以某種方式變得精確，例如通過在可能的分佈上指定一些合理的條件？這些條件會是什麼？
還是可能存在一些方差較低的合理分佈？
我可以想像更低的方差，例如當所有人們事先就他們將如何投票達成一致，因此不是真正的隨機變量，而是一個固定的數字. 那麼方差為零。或者也許幾乎所有人都同意，但少數人不同意，然後一個人可能會有微小的差異. 但這感覺像是在作弊。在沒有任何預先安排的情況下，即當每個人在某種意義上隨機投票時，是否可以有小於二項式的方差？
沒有。
假設選民由已婚夫婦。丈夫們聚在一起決定投票反對他們自己隨機選擇的妻子。結果總是投票給每個候選人，方差為零。
你可能會大喊犯規，因為丈夫們沒有隨機投票。嗯，他們是——他們只是碰巧與他們妻子的隨機投票密切相關。如果這讓您感到困擾，請讓每個丈夫擲十個公平的硬幣來稍微改變一下。如果十個都是頭，他會和他的妻子一起投票；否則他會投票反對她。您可以檢查選舉結果是否仍然具有較小的（儘管非零）方差，即使每次投票都是不可預測的。
問題的癥結在於男性和女性兩個投票集團之間的負協方差。