Mathematical-Statistics
微分幾何與統計學有什麼關係嗎？
我正在攻讀統計學碩士，建議我學習微分幾何。我會很高興聽到微分幾何的統計應用，因為這會讓我有動力。有沒有人碰巧知道微分幾何在統計學中的應用？
兩本關於該主題的規范書籍，帶有評論，然後是其他兩本參考資料：
- 微分幾何與統計，MK Murray，JW Rice
自從 Rao 於 1945 年引入有關一系列概率分佈的 Fisher 信息度量以來，統計學家一直對將微分幾何應用於統計產生興趣。在過去的幾十年中，隨著大量研究人員的工作，這種興趣迅速增加。到目前為止，阻礙這些思想傳播到更廣泛的統計學家社區的一個障礙是缺乏合適的文本，以統計學家可以理解的方式介紹現代無坐標的微分幾何方法。本書旨在填補這一空白。作者為本書帶來了微分幾何及其在統計學中的應用方面的豐富研究經驗。本書從研究最簡單的微分流形開始——仿射空間及其與指數族的相關性，然後進入一般理論、Fisher 信息度量、Amari 連接和漸近線。它在矢量叢、主叢和射流理論以及它們在弦理論中的應用達到高潮——這是目前在統計和微分幾何研究的前沿領域。
- 信息幾何方法，S.-I。Amari, H. Nagaoka
信息幾何為數學科學提供了一個新的分析框架。它源於對概率分佈流形上自然微分幾何結構的研究，該結構由 Fisher 信息定義的黎曼度量和稱為仿射連接的單參數族組成-連接。之間的二元性-連接和-連接與度量一起在這個幾何中起著至關重要的作用。這種從概率分佈的流形中出現的對偶性無處不在，出現在可能與概率論沒有明確關係的各種問題中。通過二元性，可以以統一的視角分析各種基本問題。本書的前半部分致力於全面介紹信息幾何的數學基礎，包括微分幾何的預備知識、流形或概率分佈的幾何，以及對偶仿射連接的一般理論。正文的後半部分概述了許多應用領域，例如統計學、線性系統、信息論、量子力學、凸分析、神經網絡、和仿射微分幾何。本書可作為高年級本科生和研究生主題課程的合適教材。
- 統計推斷中的微分幾何，S.-I。Amari、OE Barndorff-Nielsen、RE Kass、SL Lauritzen 和 CR Rao，IMS Lecture Notes Monogr。爵士。第 10 卷，1987 年，240 頁。
- 微分幾何在統計理論中的作用，OE Barndorff-Nielsen，DR Cox 和 N. Reid，國際統計評論 / Revue Internationale de Statistique，卷。54，第 1 期（1986 年 4 月），第 83-96 頁