不存在均值（或其他時刻）的非負離散分佈示例？
我在 scipy 中做一些工作，並且與核心 scipy 組的成員進行了一次對話，即非負離散隨機變量是否可以具有未定義的時刻。我認為他是正確的，但手邊沒有證據。任何人都可以證明/證明這種說法嗎？（或者如果這種說法不正確，則反駁）
如果離散隨機變量支持，我沒有方便的示例但似乎柯西分佈的一些離散版本應該作為一個例子來獲得一個不確定的時刻。非消極的條件（也許包括) 似乎使問題具有挑戰性（至少對我而言）。
讓 CDF $ F $ 平等的 $ 1-1/n $ 在整數 $ n=1,2,\ldots, $ 其他地方的分段常數，並且符合所有標準成為 CDF。期望是
$$ \int_{0}^\infty (1-F(x))\mathrm{d}x = 1/2 + 1/3 + 1/4 + \cdots $$
分歧。在這個意義上，第一個時刻（因此所有更高的時刻）是無限的。 （詳細說明見文末註釋。）
如果您對這種表示法感到不舒服，請注意 $ n=1,2,3,\ldots, $
$$ {\Pr}_{F}(n) = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1.} $$
這定義了一個概率分佈，因為每個項都是正數並且$$ \sum_{n=1}^\infty {\Pr}{F}(n) = \sum{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = \lim_{n\to \infty} 1 - \frac{1}{n+1} = 1. $$
期望是
$$ \sum_{n=1}^\infty n,{\Pr}{F}(n) = \sum{n=1}^\infty n\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) =\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+1} = 1/2 + 1/3 + 1/4 + \cdots $$
分歧。
這種表達答案的方式清楚地表明，所有解決方案都是通過這種發散級數獲得的。 實際上，如果您希望某些正值子集支持分佈 $ x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots, $ 有概率 $ p_1, p_2, \ldots $ 求和為一，則期望發散表示它的級數，即
$$ (a_n) = (x_n p_n), $$
必須有不同的部分和。
反之，每一個不同的序列 $ (a_n) $ 非負數與許多具有不同期望的離散正分佈相關聯。 例如，給定 $ (a_n) $ 您可以應用以下算法來確定序列 $ (x_n) $ 和 $ (p_n) $ . 從設置開始 $ q_n = 2^{-n} $ 和 $ y_n = 2^n a_n $ 為了 $ n=1, 2, \ldots. $ 定義 $ \Omega $ 成為所有的集合 $ y_n $ 以這種方式出現，將其元素索引為 $ \Omega={\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_i, \ldots}, $ 並定義一個概率分佈 $ \Omega $ 經過
$$ \Pr(\omega_i) = \sum_{n \mid y_n = \omega_i}q_n. $$
這是有效的，因為總和 $ p_n $ 等於總和 $ q_n, $ 這是 $ 1, $ 和 $ \Omega $ 至多有可數的正元素。
以系列為例 $ (a_n) = (1, 1/2, 1, 1/2, \ldots) $ 明顯分歧。該算法給出
$$ y_1 = 2a_1 = 2;\ y_2 = 2^2 a_2 = 2;\ y_3 = 2^3 a_3 = 8; \ldots $$
因此$$ \Omega = {2, 8, 32, 128, \ldots, 2^{2n+1},\ldots} $$
是奇數正冪的集合 $ 2 $ 和$$ p_1 = q_1 + q_2 = 3/4;\ p_2 = q_3 + q_4 = 3/16;\ p_3 = q_5 + q_6 = 3/64; \ldots $$
關於無限和不存在的時刻
當所有值都是正數時，就沒有“未定義”時刻這樣的東西：時刻都存在，但在發散和（或積分）的意義上它們可以是無限的，如本答案開頭所示。
通常，所有矩都是為正隨機變量定義的，因為表示它們的和或積分要么絕對收斂，要么發散（“無限”）。與此相反，對於具有正值和負值的變量，矩可能變得不確定，因為——根據勒貝格積分的定義——矩是正部分的矩與負部分的絕對值的矩之間的差。如果兩者都是無限的，那麼收斂不是絕對的，並且您面臨從無窮大中減去無窮大的問題：那不存在。