證明方差總是大於或等於零

眾所周知：Var(X)≥0

對於每個隨機變量 X . 儘管如此，我不記得看到過正式的證明。

上面的不等式有證據嗎？如果我們包括複數領域，這是否會導致上述不等式錯誤的可能性？

轉到您對方差的定義：

Var(X)=∫(x−μ)2f(x),dx

這 (x−μ)2 分量是非負的，並且 f(x) 分量是非負的，所以被積函數， (x−μ)2f(x) 是非負的。

當您積分始終位於 x 軸或上方的被積函數時，該曲線下的面積將是非負的。

如果將方差寫為總和（對於離散變量），這可能更容易看出：

Var(X)=∑ip(xi)(xi−μ)2

像之前一樣， p(xi)≥0 對所有人 xi ， 和 (xi−μ)2≥0 對所有人 xi ，所以這是非負值的總和。

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/525901