Mathematical-Statistics
證明方差總是大於或等於零
眾所周知：$$ \begin{equation}\label{3} Var(X) \geq 0 \end{equation} $$對於每個隨機變量 $ X $ . 儘管如此，我不記得看到過正式的證明。
上面的不等式有證據嗎？如果我們包括複數領域，這是否會導致上述不等式錯誤的可能性？
轉到您對方差的定義：
$$ \operatorname{Var}(X) = \int(x-\mu)^2f(x),dx $$
這 $ (x-\mu)^2 $ 分量是非負的，並且 $ f(x) $ 分量是非負的，所以被積函數， $ (x-\mu)^2f(x) $ 是非負的。
當您積分始終位於 x 軸或上方的被積函數時，該曲線下的面積將是非負的。
如果將方差寫為總和（對於離散變量），這可能更容易看出：
$$ \operatorname{Var}(X) = \sum_i p(x_i)(x_i -\mu)^2 $$
像之前一樣， $ p(x_i)\ge 0 $ 對所有人 $ x_i $ ， 和 $ (x_i - \mu)^2\ge 0 $ 對所有人 $ x_i $ ，所以這是非負值的總和。