證明和(Xn)1/n和(Xn)1/nE(X^n)^{1/n}對於非負隨機變量不減
對於非負隨機變量，如何證明不減少?
寫 $ p $ 代替 $ n $ 強調它可以是任何正實數，而不僅僅是“ $ n $ ”。
讓我們通過一些標準的初步轉換來簡化後續計算。重新縮放對結果沒有影響 $ X $ . 結果是微不足道的，如果 $ X $ 幾乎處處為零，所以假設 $ \mathbb{E}(X) $ 非零，從哪裡來 $ \mathbb{E}(X^p) $ 對所有人來說也是非零的 $ p $ . 現在修復 $ p $ 並劃分 $ X $ 經過 $ \mathbb{E}(X^p)^{1/p} $ 以便$$ \mathbb{E}(X^p) = 1\tag{1}, $$不失一般性。
當您第一次嘗試弄清楚並且您嘗試不努力工作時，**以下是推理可能會如何進行。**我會給你留下每一步的詳細理由。
表達方式 $ \mathbb{E}(X^p)^{1/p} $ 是非減的當且僅當它的對數是非減的。該對數是可微的，因此當且僅當它的導數是非負的時它是非減的。剝削 $ (1) $ 我們可以計算（通過在期望內微分）這個導數為
$$ \frac{d}{dp}\log\left( \mathbb{E}(X^p)^{1/p} \right) = -\frac{1}{p^2}\log\mathbb{E}(X^p) + \frac{\mathbb{E}(X^p \log X)}{\mathbb{E}(X^p)} = \frac{1}{p}\mathbb{E}(X^p \log(X^p)). $$
寫作 $ Y=X^p $ , 右手邊是非負的當且僅當$$ \mathbb{E}(Y\log(Y)) \ge 0. $$ 但這是Jensen 不等式應用於函數的直接結果 $ f(y) = y\log(y) $ （在非負實數上連續，在正實數上可微），因為兩次微分錶明$$ f^{\prime\prime}(y) = \frac{1}{y}\gt 0 $$為了 $ y\gt 0 $ , 從何而來 $ f $ 是非負實數上的凸函數，產生
$$ \mathbb{E}(Y \log Y) = \mathbb{E}(f(Y)) \ge f\left(\mathbb{E}(Y)\right) = f(1) = 0, $$
量子點。
編輯
Edward Nelson 提供了一個非常簡潔的演示。作為（標準）符號的問題，定義 $ ||x||p = \mathbb{E}(|x|^p)^{1/p} $ 為了 $ 1 \lt p \lt \infty $ （和 $ ||x||\infty = \sup |x| $ ）。觀察到函數 $ f(x) = |x|^p $ 是凸的，他應用 Jensen 不等式得出結論
$$ |\mathbb{E}(x)|^p \le \mathbb{E}(|x|^p). $$
以下是用他自己的話來說的演示的其餘部分：
應用於 $ |x| $ 這給了$$ ||x||_1 \le ||x||_p, $$並應用於 $ |x|^r $ ， 在哪裡 $ 1 \le r \lt \infty $ ，這給出$$ ||x||r \le ||x||{rp}, $$以便 $ ||x||_p $ 是一個增函數 $ p $ 為了 $ 1 \le p \le \infty $ .
參考
愛德華納爾遜，從根本上初等概率論。 普林斯頓大學出版社（1987 年）：p。5.