證明和(Xn)1/n和(Xn)1/nE(X^n)^{1/n}對於非負隨機變量不減

對於非負隨機變量，如何證明不減少?

寫 p 代替 n 強調它可以是任何正實數，而不僅僅是“ n ”。

讓我們通過一些標準的初步轉換來簡化後續計算。重新縮放對結果沒有影響 X . 結果是微不足道的，如果 X 幾乎處處為零，所以假設 E(X) 非零，從哪裡來 E(Xp) 對所有人來說也是非零的 p . 現在修復 p 並劃分 X 經過 E(Xp)1/p 以便E(Xp)=1,

不失一般性。

當您第一次嘗試弄清楚並且您嘗試不努力工作時，**以下是推理可能會如何進行。**我會給你留下每一步的詳細理由。

表達方式 E(Xp)1/p 是非減的當且僅當它的對數是非減的。該對數是可微的，因此當且僅當它的導數是非負的時它是非減的。剝削 (1) 我們可以計算（通過在期望內微分）這個導數為

ddplog(E(Xp)1/p)=−1p2logE(Xp)+E(XplogX)E(Xp)=1pE(Xplog(Xp)).

寫作 Y=Xp , 右手邊是非負的當且僅當E(Ylog(Y))≥0.

但這是Jensen 不等式應用於函數的直接結果 f(y)=ylog(y) （在非負實數上連續，在正實數上可微），因為兩次微分錶明f′′(y)=1y>0

為了 y>0 , 從何而來 f 是非負實數上的凸函數，產生

E(YlogY)=E(f(Y))≥f(E(Y))=f(1)=0,

量子點。

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編輯

Edward Nelson 提供了一個非常簡潔的演示。作為（標準）符號的問題，定義 $ ||x||p = \mathbb{E}(|x|^p)^{1/p} 為了 1 \lt p \lt \infty （和 ||x||\infty = \sup |x| ）。觀察到函數 f(x) = |x|^p $ 是凸的，他應用 Jensen 不等式得出結論

|E(x)|p≤E(|x|p).

以下是用他自己的話來說的演示的其餘部分：

應用於 |x| 這給了||x||1≤||x||p,

並應用於 |x|r ， 在哪裡 1≤r<∞ ，這給出$$ ||x||r \le ||x||{rp}, $$以便 ||x||p 是一個增函數 p 為了 1≤p≤∞ .

參考

愛德華納爾遜，從根本上初等概率論。 普林斯頓大學出版社（1987 年）：p。5.

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/244202