涉及總體平均值置信區間的統計問題可以根據以下加權函數來構建：

例如，標準經典無限超總體均值的水平置信區間可寫為：

建立界限是微不足道的和使用 T 分佈的分位數函數。在置信區間的上下文中，這告訴我們，隨著置信水平的降低，區間縮小到一個點，而隨著置信水平的提高，區間增加到整條實線。另一個應該保持的直觀屬性是，隨著我們獲得越來越多的數據，間隔會縮小到一個點，這意味著：

**問題：**請提供權重函數的後一種性質的證明。

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**更多信息：**對於任何不熟悉T 分佈臨界點的數學讀者，值是一個函數由隱式方程定義：

用切比雪夫不等式證明

這是使用切比雪夫不等式的證明 $ Pr(|T|\geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2} $ .

如果我們填寫 $ \sigma_{t_\nu} = \frac{\nu}{\nu-2} $ 並設置 $ 1/k^2=\alpha = Pr\left(|T|\geq t_{\nu,\alpha/2}\right) $ 那麼我們有一個限制

$$ Pr\left(|T|\geq \frac{\nu}{\nu-2}\frac{1}{\sqrt{\alpha}}\right) \leq Pr\left(|T|\geq t_{\nu,\alpha/2}\right) $$

因此 $ t_{\nu,\alpha/2} $ 將由以上限制

$$ t_{\nu,\alpha/2} \leq \frac{\nu}{\nu-2}\frac{1}{\sqrt{\alpha}} $$

添加明顯的下界並除以 $ \sqrt{\nu+1} $

$$ 0 \leq \frac{t_{n-1,\alpha/2}}{\sqrt{\nu+1}} \leq \frac{\nu}{\sqrt{\nu+1}\left(\nu-2\right)}\frac{1}{\sqrt{\alpha}} $$

擠壓 $ t_{n-1,\alpha/2} / \sqrt{n} $ 歸零 $ n \to \infty $

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/358479