證明 Angrist 和 Imbens 的 LATE 定理 1994
假設我們有一個二進制工具可用於估計內生變量的影響關於結果. 假設儀器有一個重要的第一階段，它是隨機分配的，它滿足排除限制，並且滿足 Angrist 和 Imbens (1994) 中概述的單調性。 http://www.jstor.org/discover/10.2307/2951620?uid=3738032&uid=2&uid=4&sid=21104754800073
他們指出，成為編譯器的概率（） 是
編譯者子群的潛在結果的差異是
有人能解釋一下他們是如何得到這兩個表達式的，更重要的是它們是如何結合起來的嗎？我試圖從他們的期刊文章中理解這一點，但我無法理解。對此的任何幫助將不勝感激。
對於第一部分，你說你有一個“有效”的工具。這意味著對於二元處理和儀器，相當於，即儀器對是否選擇治療有影響。這一觀察也應該在 Angrist 和 Imbens 的論文中說明，這是他們其餘證明的關鍵。對於第一階段，他們假設, 意味著編譯器的數量 (大於 defiers ().
使用排除限制（對於每個{我們有那個，即該工具對結果沒有直接影響）您可以將總體中編譯者和拒絕者的份額差異寫為
第二步使用獨立性擺脫對因為潛在結果與工具無關。第三步使用全概率定律。在最後一步中，您只需要使用單調性，它基本上假設不存在定義器，所以你得到
這將是 2SLS 回歸中的第一階段係數。單調性假設對此至關重要，人們應該認真考慮可能違反它的可能原因（但是，單調性可以放寬，例如參見de Chaisemartin (2012) “All you need is LATE”）。 證明的第二部分遵循類似的路徑。為此，您需要記住觀察到的治療狀態是
因為您無法觀察到同一個人的兩種潛在結果。通過這種方式，您可以將觀察到的結果與潛在結果、治療狀態和儀器聯繫起來，如
對於證明的第二部分，取儀器打開和打開時預期結果的差異，並使用先前觀察結果的表示和第一步中的排除限制得到：
現在這是一項相當多的工作，但如果您知道需要採取的步驟，這還不錯。對於第二行，再次使用排除限制來寫出潛在的治療狀態。在第三行中，使用獨立性來擺脫對像之前一樣。在第四行中，您只需考慮條款。第五行使用了迭代期望定律。最後一行是由於單調性假設而出現的，即. 然後，您只需要在最後一步進行劃分，然後就可以到達
自從和是二進制的。這應該顯示您如何結合這兩個證明以及它們如何得出最終表達式。