德國坦克問題的解決方案
是否有正式的數學證明證明德國坦克問題的解決方案僅是參數k（觀察到的樣本數）和m（觀察到的樣本中的最大值）的函數？換句話說，可以證明解與最大值之外的其他樣本值無關嗎？
可能性
概率論中的常見問題是指觀察的概率 $ x_1, x_2, … , x_n $ 給定某個模型並給定參數（我們稱它們為 $ \theta $ ） 涉及。例如，紙牌遊戲或骰子遊戲中特定情況的概率通常非常簡單。
然而，在許多實際情況中，我們正在處理相反的情況（推論統計）。即：觀察 $ x_1, x_2, … , x_k $ 給定了，現在模型是未知的，或者至少我們不知道某些參數 $ \theta $ .
在這些類型的問題中，我們經常提到一個稱為參數似然度的術語， $ \mathcal{L(\theta)} $ ，這是對特定參數的信任率 $ \theta $ 給定觀察 $ x_1, x_2, .. x_k $ . 該術語表示為與觀察的概率成正比 $ x_1, x_2, .. x_k $ 假設模型參數 $ \theta $ 假設是真的。$$ \mathcal{L}(\theta,x_1, x_2, .. x_k) \propto \text{probability observations $x_1, x_2, .. x_k$ given $\theta$ } $$
對於給定的參數值 $ \theta $ 某個觀察的可能性越大 $ x_1, x_2, .. x_n $ 是（相對於其他參數值的概率），觀察越支持這個特定參數（或假設這個參數的理論/假設）。（相對）高可能性將加強我們對該參數值的信念（關於這一點有更多的哲學要說）。
德國坦克問題的可能性
現在對於德國坦克問題，一組樣本的似然函數 $ x_1, x_2, .. x_k $ 是：
$$ \mathcal{L}(\theta,x_1, x_2, .. x_k ) = \Pr(x_1, x_2, .. x_k, \theta) = \begin{cases} 0 &\text{if } \max(x_1, x_2, .. x_k) > \theta \ {{\theta}\choose{k}}^{-1} &\text{if } \max(x_1, x_2, .. x_k) \leq \theta, \end{cases} $$
當樣本從具有參數*的均勻分佈中考慮時，*無論您觀察樣本 {1、2、10} 還是樣本 {8、9、10} 都無關緊要 $ \theta $ . 兩個樣本的概率相等 $ {{\theta}\choose{3}}^{-1} $ 並且使用可能性的概念，一個樣本並沒有更多地說明參數 $ \theta $ 比另一個樣本。
高值 {8, 9, 10} 可能會讓您認為/相信 $ \theta $ 應該更高。但是，只有值 {10} 才能真正為您提供有關可能性的相關信息 $ \theta $ （值 10 告訴你 $ \theta $ 將是 10 或更高，其他值 8 和 9 對此信息沒有任何貢獻）。
Fisher Neyman 分解定理
這個定理告訴你，某個統計量 $ T(x_1, x_2, … , x_k) $ （即觀察的某些函數，例如平均值，中位數，或德國坦克問題中的最大值）是足夠的（包含所有信息），當您可以在似然函數中分解出依賴於其他項的項時觀察 $ x_1, x_2, … , x_k $ , 這樣這個因素不依賴於兩個參數 $ \theta $ 和 $ x_1, x_2, … , x_k $ （並且將數據與假設參數值相關聯的似然函數部分僅取決於統計數據，而不取決於整個數據/觀察結果）。
德國坦克問題的案例很簡單。您可以在上面看到，上面可能性的整個表達式已經只依賴於統計數據 $ \max(x_1, x_2, .. x_k) $ 和其餘的值 $ x_1, x_2, .. x_k $ 沒關係。
以小遊戲為例
假設我們反复玩以下游戲： $ \theta $ 本身是一個隨機變量，以 100 或 110 的等概率繪製。然後我們抽取一個樣本 $ x_1,x_2,…,x_k $ .
我們要選擇一種猜測策略 $ \theta $ ，基於觀察到的 $ x_1,x_2,…,x_k $ 最大化我們正確猜測的概率 $ \theta $ .
正確的策略是選擇 100，除非樣本中的一個數字大於 100。
當許多 $ x_1,x_2,…,x_k $ 往往是接近百的所有高值（但沒有一個正好超過百），但那是錯誤的。當真實參數值為 100 時，這種觀察的概率會大於 110 時的概率。因此，如果我們猜測，在這種情況下，將 100 作為參數值，那麼我們出錯的可能性就較小（因為這些高值接近百，但仍低於百的情況，更常見於真值為 100 的情況，而不是真值為 110 的情況）。