相關隨機變量線性組合的方差

我明白證明 $$ Var(aX+bY) = a^2Var(X) +b^2Var(Y) + 2abCov(X,Y), $$ 但我不明白如何證明對任意線性組合的概括。

讓 $ a_i $ 是標量 $ i\in {1,\dots ,n} $ 所以我們有一個向量 $ \underline a $ ， 和 $ \underline X = X_i,\dots ,X_n $ 是相關隨機變量的向量。然後$$ Var(a_1X_1 + \dots a_nX_n) = \sum_{i=1}^n a_i^2 \sigma_i^2 + 2 \sum_{i=1}^n \sum_{j>i}^n a_i a_j \text{ Cov}(X_i,X_j) $$ 我們如何證明這一點？我想在求和符號和向量符號中有證明嗎？

這只是應用和的基本屬性、期望的線性以及方差和協方差的定義的練習

請注意，在最後一步中，我們還確定了 作為方差 .

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/160230