隨機變量和隨機樣本有什麼區別？
在我學習統計學的時候，這兩個表達式讓我很困惑。在我看來，它們是完全不同的東西。
隨機樣本是從總體中隨機抽取一個樣本，而隨機變量就像一個函數，它將實驗的所有可能結果的集合映射到一個實數。
但是，假設我抽取一些樣本,,和， 在哪裡和是未知的，是,,隨機樣本還是隨機變量？
一個隨機變量, $ X:\Omega \rightarrow \mathbb R $ , 是從樣本空間到實線的函數。這是一個確定性公式，可以像在擲骰子的隨機實驗中記下骰子落在的數字一樣簡單。實驗是隨機的，我們無法控制許多決定其結果的物理因素；然而，一旦骰子落地，隨機變量就會將物理世界中的結果映射到一個數字。
其他示例包括測量 8 個年級學生樣本的身高，或許可以推斷總體參數（包括均值和方差）。每個男孩或女孩都是隨機實驗的結果，就像扔硬幣一樣。一旦選擇了一個主題，實際映射到以英寸或厘米為單位的數字就不會受到隨機性的影響，儘管它的名稱是“隨機變量”。
一組這樣的實驗將構成一個樣本：“在統計學中，簡單的隨機樣本是從更大的集合（總體）中選擇的個體（樣本）的子集。” 這個定義很直觀，但隱含了人口這一術語。本文試圖彌補這一差距，指出“人口”一詞作為名詞應該指的是樣本空間，而不是許多教科書中的隨機變量。”
隨機樣本是一組 $ n $ 獨立同分佈（iid）隨機變量 $ X_1, X_2, X_3,\dots, X_n. $ 其中 $ {\displaystyle X_{i}} $ 是函數 $ X(\cdot) $ 應用於結果 $ i $ -第實驗： $ {\displaystyle x_{i}=X_{i}(\omega )}. $ 儘管無放回抽樣不滿足獨立性要求，但在從大量人口中抽樣時忽略了這一點，以利於計算方便。
這 $ n $ -元組 $ x_1,x_2,x_3,\dots,x_n $ 是隨機變量的特定實現，在問題中提出的情況下，將來自 $ N(\mu,\sigma^2) $ 同分佈 $ X_i $ 隨機變量。因此，在 OP 中，“抽取一些樣本”的過程將導致這個隨機變量集合的單獨實現。
隨機變量是數學定律的對象，例如 LLN 或 CLT。隨機變量的分佈將決定從隨機樣本中進行歸納的可行性。例如，任何給定的實現總是有一個平均值和一個標準差作為 $ n $ -元組或實數，但它們生成的隨機變量可能沒有有限矩，例如帕累托，這會損害對總體特徵的統計推斷。