漸近無偏性和一致性有什麼區別？
每個都暗示另一個嗎？如果不是，一個是否意味著另一個？為什麼/為什麼不？
出現此問題是為了回應對我在此處發布的答案的評論。
雖然谷歌搜索相關術語並沒有產生任何似乎特別有用的東西，但我確實注意到數學堆棧交換的答案。但是，我認為這個問題也適合這個網站。
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相對於 math.stackexchange 的答案，我追求的是更深入的內容，涵蓋了評論線程 @whuber linked中處理的一些問題。此外，正如我所看到的，math.stackexchange 問題表明一致性並不意味著漸近無偏見，但並沒有解釋太多原因。那裡的 OP 也理所當然地認為漸近無偏見並不意味著一致性，因此迄今為止唯一的回答者沒有解決為什麼會這樣。
在 math.se 的相關帖子中，回答者認為漸近無偏性的定義是 $ \lim_{n\to \infty} E(\hat \theta_n-\theta) = 0 $ .
直覺上，我不同意：“無偏性”是我們首先學習的與分佈（有限樣本）相關的術語。考慮到與漸近分佈相關的“漸近無偏性”似乎更自然。事實上，這就是Lehmann & Casella 在“Theory of Point Estimation (1998, 2nd ed) do, p. 438 Definition 2.1 (simplified notation) 中所做的：
$$ \text{If} ;;;k_n(\hat \theta_n - \theta )\to_d H $$
對於某些序列 $ k_n $ 對於一些隨機變量 $ H $ , 估計器 $ \hat \theta_n $ 如果期望值是漸近無偏的 $ H $ 為零。
鑑於這個定義，我們可以認為一致性意味著漸近無偏性，因為
$$ \hat \theta_n \to_{p}\theta \implies \hat \theta_n - \theta \to_{p}0 \implies \hat \theta_n - \theta \to_{d}0 $$
…並且等於零的退化分佈的期望值等於零（這裡 $ k_n $ 序列是一個序列）。
但我懷疑這並不是真的有用，它只是允許退化隨機變量的漸近無偏性定義的副產品。本質上，我們想知道，如果我們有一個涉及收斂到非退化 rv 的估計量的表達式，一致性是否仍然意味著漸近無偏。
在本書的前面（第 431 頁定義 1.2），作者稱該屬性為 $ \lim_{n\to \infty} E(\hat \theta_n-\theta) = 0 $ 為“極限無偏”，與漸近無偏不重合。
一致性發生在任何時候——
- 估計量在極限中是無偏的，並且
- 估計方差的序列變為零（這意味著首先存在方差）。
這些構成了充分但非必要的條件。
對於與非零方差的一致性相關的複雜性（有點令人難以置信），請訪問這篇文章。