Matrix
為什麼默認矩陣範數是譜範數而不是 Frobenius 範數？
對於向量範數，L2範數或“歐幾里得距離”是廣泛使用且直觀的定義。但是為什麼矩陣的“最常用”或“默認”範數定義是譜範數，而不是 Frobenius 範數（類似於向量的 L2 範數）？
這是否與迭代算法/矩陣冪有關（如果光譜半徑小於 1，則算法將收斂）？
- 像“最常用”、“默認”這樣的詞總是有爭議的。上面提到的“默認”一詞來自
Matlabfunction中的默認返回類型norm。R矩陣的默認範數是 L1 範數。兩者對我來說都是“不自然的”（對於矩陣，這樣做似乎更“自然”就像在向量中一樣）。（感謝@usεr11852 和@whuber 的評論，對造成的混亂表示抱歉。）- 可能是擴展矩陣範數的用法會幫助我理解更多嗎？
一般來說，我不確定光譜範數是最廣泛使用的。例如，Frobenius 範數用於逼近非負矩陣分解或相關/協方差矩陣正則化的解。我認為這個問題的一部分源於某些人（包括我自己）在將Frobenius norm稱為Euclidean matrix norm時所做的術語輕罪。我們不應該因為實際上矩陣範數（即譜範數）是在使用矢量範數。Frobenius 範數是元素方面的：，而矩陣範數 () 基於奇異值，因此它更“通用”。（為了更好的任期？）矩陣範數是歐幾里得類型範數，因為它是由歐幾里得向量範數導出的，其中. 因此它是矩陣的誘導範數，因為它是由向量範數**誘導的，在這種情況下矢量範數。
可能MATLAB 旨在提供使用命令時默認為norm
norm；因此，它提供了歐幾里得矢量範數，但也提供了矩陣範數，即 譜矩陣範數（而不是錯誤引用的“ Frobenius /Euclidean matrix norm ”）。最後讓我注意，默認規範在某種程度上是一個見仁見智的問題：例如，JE Gentle 的“矩陣代數 - 統計中的理論、計算和應用”字面上有一章 (3.9.2) 名為：“ The Frobenius規範 - “通常”的規範“；很明顯，光譜規範並不是所有各方考慮的默認規範！:) 正如@amoeba 評論的那樣，不同的社區可能有不同的術語約定。不用說，我認為 Gentle 的書是關於Lin. 代數在統計學中的應用，我會提示您進一步研究！