即使模型不正確，MLE 估計是否漸近正常且有效？
前提：這可能是一個愚蠢的問題。我只知道關於 MLE 漸近性質的陳述，但我從未研究過證明。如果我這樣做了，也許我不會問這些問題，或者我可能會意識到這些問題沒有意義……所以請對我放輕鬆:)
我經常看到這樣的說法，即模型參數的 MLE 估計量是漸近正態且有效的。聲明通常寫成
作為
在哪裡是樣本數，是 Fisher 信息和是參數（向量）的真值。現在，既然引用了一個真實的模型，這是否意味著如果模型不真實，結果將不成立？
示例：假設我對風力渦輪機的功率輸出進行建模 作為風速的函數加上加性高斯噪聲
我知道模型是錯誤的，至少有兩個原因：1）真的與的三次方成正比和 2) 誤差不是累加的，因為我忽略了與風速不相關的其他預測變量（我也知道應該為 0，因為在 0 風速下不發電，但這與此處無關）。現在，假設我有一個無限數據庫，其中包含來自我的風力渦輪機的功率和風速數據。我可以繪製任意數量的樣本，無論大小。假設我抽取 1000 個樣本，每個樣本大小為 100，然後計算, 的 MLE 估計（根據我的模型，這只是 OLS 估計）。因此，我有 1000 個來自分佈的樣本. 我可以重複練習. 作為, 應該分佈趨向於漸近正態，具有規定的均值和方差？或者模型不正確的事實是否使這個結果無效？
我問的原因是很少（如果有的話）模型在應用程序中是“真實的”。如果在模型不正確時 MLE 的漸近特性丟失了，那麼使用不同的估計原理可能是有意義的，雖然在模型正確的情況下效果較差，但在其他情況下可能比 MLE 表現更好。
編輯：評論中指出，真實模型的概念可能有問題。我想到了以下定義：給定一系列模型由參數向量指示，對於家庭中的每個模型，您始終可以編寫
通過簡單地定義作為. 然而，一般來說，誤差不會與，均值為 0，並且它不一定具有模型推導中假定的分佈。如果存在值這樣具有這兩個屬性，以及假設的分佈，我會說模型是正確的。我認為這與說, 因為分解中的誤差項
具有上述兩個屬性。
我不相信這個問題只有一個答案。
當我們在應用最大似然估計時考慮可能的分佈錯誤指定時，我們得到所謂的“準最大似然”估計量（QMLE）。在某些情況下，QMLE 既一致又漸近正態。
它肯定會失去的是漸近效率。這是因為漸近方差（這是具有漸近分佈的量，而不僅僅是) 在所有情況下，
在哪裡是對數似然的 Hessian 矩陣，並且是梯度，帽子表示樣本估計。
現在，如果我們有正確的規範，我們首先得到
哪裡“" 下標表示對真實參數的評估（並註意中間項是 Fisher 信息的定義），其次，“信息矩陣等式”成立並指出，這意味著漸近方差最終將是
這是Fisher信息的倒數。
但是如果我們有錯誤的說明，表達不會導致表達（因為一階和二階導數是基於錯誤的可能性推導出來的）。這反過來意味著信息矩陣不等式不成立，我們最終不會表達，並且 (Q)MLE 沒有達到完全的漸近效率。