任何 MLE 問題總是有一個最大化器嗎？

我想知道對於任何最大（對數）似然估計問題是否總是有一個最大化器？換句話說，是否存在 MLE 問題沒有最大化器的分佈及其一些參數？

我的問題來自一位工程師的說法，即 MLE 中的成本函數（可能性或對數可能性，我不確定哪個是預期的）總是凹的，因此它總是有一個最大化器。

謝謝並恭祝安康！

也許工程師想到了規範指數族：在它們的自然參數化中，參數空間是凸的，對數似然是凹的（參見 Bickel & Doksum 的數學統計第 1 卷中的 Thm 1.6.3 ）。此外，在一些溫和的技術條件下（基本上模型是“滿秩”，或者等效地，自然參數可識別），對數似然函數是嚴格凹的，這意味著存在唯一的最大化器。（同一參考文獻中的推論 1.6.2。）[此外，@biostat 引用的講義也表達了同樣的觀點。]

請注意，規範指數族的自然參數化通常不同於標準參數化。所以，雖然@cardinal 指出家庭的對數似然不是凸的，它將在自然參數中是凹的，即和.

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/16758