是否有 MLE 產生均值有偏估計的示例？
你能提供一個有偏均值的 MLE 估計的例子嗎？
我不是在尋找一個通過違反規律性條件來破壞 MLE 估計器的示例。
我在互聯網上看到的所有例子都指的是方差，我似乎找不到任何與平均值相關的東西。
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@MichaelHardy 提供了一個示例，在該示例中，我們在某個提議的模型下使用 MLE 對均勻分佈的均值進行了有偏估計。
然而
https://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_distribution_(continuous)#Estimation_of_midpoint
表明 MLE 是均值的統一最小無偏估計量，顯然是在另一個提出的模型下。
在這一點上，我仍然不太清楚 MLE 估計是什麼意思，如果它是非常假設的模型依賴，而不是說一個模型中性的樣本均值估計量。最後，我有興趣估計關於人口的一些事情，並不真正關心對假設模型參數的估計。
編輯 2
正如@ChristophHanck 向模型展示的那樣，帶有額外信息的模型引入了偏差，但並未設法降低 MSE。
我們還有其他結果：
http://www.maths.manchester.ac.uk/~peterf/CSI_ch4_part1.pdf (p61) http://www.cs.tut.fi/~hehu/SSP/lecture6.pdf (幻燈片 2) http:// /www.stats.ox.ac.uk/~marchini/bs2a/lecture4_4up.pdf（幻燈片 5）
“如果存在 θ 的最有效的無偏估計量 ^θ（即 ^θ 是無偏的，並且它的方差等於 CRLB），那麼最大似然估計方法將產生它。”
“此外，如果存在有效的估計器，它就是 ML 估計器。”
由於具有自由模型參數的 MLE 是無偏且有效的，根據定義，這是“最大似然估計器”嗎？
編輯 3
@AlecosPapadopoulos 在數學論壇上有一個半正態分佈的例子。
它不像在統一情況下那樣錨定它的任何參數。我會說這解決了它，儘管他沒有證明平均估計量的偏差。
Christoph Hanck 沒有公佈他提出的例子的細節。我認為他的意思是區間上的均勻分佈基於獨立同分佈樣本大小超過
平均值是.
均值的 MLE 是
這是有偏見的，因為所以
**PS：**也許我們應該注意均值的最佳無偏估計不是樣本均值，而是
樣本均值是一個糟糕的估計量因為對於某些樣本，樣本均值小於這顯然是不可能的小於
PS結束
我懷疑帕累托分佈是另一種情況。這是概率度量：
期望值為期望值的 MLE 為
在哪裡 我還沒有計算出均值的 MLE 的期望值，所以我不知道它的偏差是什麼。