中位數在 [Mode-Mean] 之外的反例
這篇文章在我的聯盟之上，但它談論了一個我感興趣的話題，即均值、眾數和中位數之間的關係。它說 ：
人們普遍認為，單峰分佈的中位數“通常”介於平均值和眾數之間。然而，這並不總是正確的……
我的問題：有人可以提供中位數在 [mode, mean] 區間之外的連續單峰（理想情況下簡單）分佈的例子嗎？例如一個分佈，如
mode < mean < median.=== 編輯 =======
Glen_b 和 Francis 已經有了很好的答案，但我意識到我真正感興趣的是眾數 < 平均“在同一側”作為模式的平均值（即高於或低於模式））。我可以接受這裡的答案是打開一個新問題，或者有人可以直接在這裡提出解決方案？
當然，不難找到中位數不在平均值和眾數之間的例子——甚至是連續的單峰例子。
- 考慮來自形式的三角形分佈的 iid
現在讓是 60-40 的混合物和.
的密度看起來像這樣：
平均值低於 0，眾數為 0，但中位數高於 0。對此稍作修改將產生一個示例，其中即使密度（而不僅僅是 cdf）也是連續的，但位置測量之間的關係是相同（編輯：見下文 3.）。 2. 概括，讓我們放一個比例（和) 的總概率成右側三角形和一個比例進入左側三角形（代替我們之前的 0.6 和 0.4）。此外，使左半邊的比例因子而不是（和):
現在假設，中位數將始終在直角三角形覆蓋的區間內，因此中位數將超過眾數（始終保持在）。特別是，當，中位數將在.
平均值將在.
如果那麼平均值將低於眾數，如果平均值將高於模式。
另一方面，我們想要保持平均值低於中位數。
考慮; 這將中位數置於眾數之上。
然後會滿足所以均值高於眾數。
中位數實際上是而平均值在. 因此對於和，我們有眾數<均值<中位數。
（注意為了與我的符號保持一致，兩個圖的 x 軸上的變量應該是而不是但我不會回去修復它。） 3. 這是密度本身是連續的示例。它基於上面 1. 和 2. 中的方法，但將“跳躍”替換為陡峭的斜坡（然後整個密度翻轉大約為 0，因為我想要一個看起來向右傾斜的示例）。
[使用“三角形密度混合”方法，它可以生成為第 1 節中描述的三角形的 3 個獨立縮放變量的混合。我們現在有 15%, 60%和 25%.]
正如我們在上圖中看到的，平均值在中間，正如要求的那樣。
- 請注意，m_t_ 在評論中提到了 Weibull（其中位數在小範圍形狀參數的區間）。這可能是令人滿意的，因為它是一個眾所周知的單峰連續（平滑）分佈，具有簡單的函數形式。
特別是 Weibull 形狀參數的值較小時，分佈是右偏的，我們通常會出現眾數和均值之間的中位數的情況，而 Weibull 形狀參數的值較大時，分佈是左偏的，我們又遇到了“中間中位數”的情況（但現在模式在右邊而不是平均值）。在這些情況之間是一個小區域，其中中位數在平均模式區間之外，並且在中間，平均值和模式交叉：
k order (0,3.2589) mode < median < mean ≈ 3.2589 mode = median < mean (3.2589,3.3125) median < mode < mean (1) ≈ 3.3215 median < mode = mean (3.3215,3.4395) median < mean < mode (2) ≈ 3.4395 median = mean < mode 3.4395+ mean < median < mode (≈3.60235 moment-skewness = 0)在上面標記為 (1) 和 (2) 的區間中為形狀參數選擇方便的值——位置統計數據之間的差距大致相等的區間——我們得到：
雖然這些滿足要求，但不幸的是，這三個位置參數非常接近，以至於我們無法在視覺上區分它們（它們都落在同一個像素中），這有點令人失望——我之前的例子中的情況要多得多分開。（儘管如此，它確實建議使用其他分佈進行檢查，其中一些可能會產生在視覺上更加明顯的結果。）
