Mean
中位數是“度量”還是“拓撲”屬性？
對於術語的輕微濫用，我深表歉意；我希望我在下面的意思會變得清楚。
考慮一個隨機變量. 均值和中位數都可以通過最優標準來表徵：均值是那個數最小化，以及最小化的數字的中位數. 從這個角度來看，平均值和中位數之間的差異是選擇用於評估偏差的“度量”，平方或絕對值。
另一方面，中位數是（假設絕對連續性），即這個定義只取決於排序值的能力並且與它們的差異程度無關。其結果是對於每個嚴格遞增的函數,，這意味著它在“橡膠狀”變換下的不變性意義上是“拓撲的”。
現在我已經完成了數學計算，我知道從最優性標准開始，我可以得出-分位數，所以兩者都描述了同一件事。但是我仍然感到困惑，因為我的直覺告訴我，依賴於“度量”的東西不能導致“拓撲”屬性。
有人可以為我解開這個謎嗎？
您推理的缺陷是，依賴於度量的東西不能是拓撲屬性。
取度量空間的緊緻性。這可以用度量來定義：緊湊性意味著空間是完整的（取決於度量）和完全有界的（取決於度量）。然而事實證明，這個屬性在同胚下是一個不變量，並且確實可以僅根據拓撲（任何覆蓋的有限子覆蓋，通常的方式）來定義。
另一個例子是各種同調理論。只有奇異同調在其定義中才是真正的拓撲。所有其他的，單純的、細胞的、De Rham（上同調，但請允許我有點鬆散）等，都依賴於額外的結構，但結果是等價的（並且更容易使用）。
這在數學中經常出現，有時定義某些事物的最簡單方法是根據一些輔助結構，然後證明結果實體實際上根本不依賴於輔助結構的選擇。