當數據有偏差時應該使用平均值嗎？
通常介紹性應用統計文本通過解釋平均值對樣本數據中的異常值和/或偏斜的人口分佈，這被用作斷言當數據不對稱時首選中位數的理由。
例如：
給定數據集的集中趨勢的最佳度量通常取決於值的分佈方式……當數據不對稱時，中位數通常是集中趨勢的最佳度量。因為平均值對極端觀察很敏感，所以它會被拉向邊緣數據值的方向，結果可能會過度膨脹或過度收縮。”
——Pagano 和 Gauvreau，（2000 年）《生物統計學原理》，第 2 版。 （寶潔就在手邊，順便說一句，並沒有把它們單獨挑出來*。*）
作者如此定義“集中趨勢”：“一組數據最常研究的特徵是它的中心，或者觀察傾向於聚集的點。”
這讓我覺得這是一種不太直截了當的說法，即僅使用中位數 period，因為僅在數據/分佈對稱時使用均值與僅在等於中位數時使用均值是一回事。編輯： whuber 正確地指出，我將集中趨勢的穩健度量與中位數混為一談。因此，重要的是要記住，我正在討論介紹性應用統計中算術平均值與中位數的具體框架（除了模式之外，其他集中趨勢的測量沒有動機）。
與其根據均值偏離中位數行為的程度來判斷均值的效用，我們不應該簡單地將它們理解為兩種不同的中心性度量嗎？換句話說，對偏度敏感是均值的一個特徵。人們可以同樣有效地爭論“中位數不好，因為它在很大程度上對偏度不敏感，所以只有在它等於平均值時才使用它。”
（該模式非常明智地不涉及這個問題。）
我不同意這個建議作為一個明確的規則。（並非所有書籍都通用。）
問題更加微妙。
如果您真的有興趣推斷總體均值，那麼樣本均值至少是它的無偏估計量，並且具有許多其他優勢。事實上，請參閱高斯-馬爾可夫定理- 它是最好的線性無偏。
如果您的變量嚴重偏斜，則問題與“線性”有關-在某些情況下，所有線性估計器都可能不好，因此其中最好的估計器可能仍然沒有吸引力，因此非線性均值的估計器可能會更好，但它需要了解一些（甚至很多）關於分佈的知識。我們並不總是那麼奢侈。
如果您不一定對與人口平均值相關的推斷感興趣（“什麼是典型年齡？ ”，比如說，或者是否存在從一個人口到另一個人口的更一般的位置轉移，這可以用任何位置來表達，甚至一個變量隨機大於另一個變量的測試），然後根據總體均值進行轉換是不必要的或可能適得其反（在最後一種情況下）。
所以我認為它歸結為思考：
- 你的實際問題是什麼？在這種情況下，人口是否意味著一件好事？
- 鑑於這種情況（在這種情況下是偏度），回答問題的最佳方法是什麼？使用樣本是回答我們感興趣的問題的最佳方法嗎？
您可能對總體均值有疑問，但樣本均值是查看這些問題的好方法（估計您假設分佈為 ab 指數隨機變量的等待時間的總體中位數，例如更好地估計為樣本均值的特定部分）…反之亦然-問題可能與總體均值有關，但樣本均值可能不是回答該問題的最佳方法。