Mean
均值平方的無偏正估計量
假設我們可以從具有真實（未知）均值和方差的分佈中訪問 iid 樣本, 我們要估計.
我們如何構建這個數量的無偏、始終為正的估計量？
取樣本均值的平方有偏見，會高估數量，尤其是。如果接近於 0 並且很大。
這可能是一個微不足道的問題，但我的谷歌技能讓我失望，因為
estimator of mean-squared只有回報mean-squarred-error estimators
如果它使事情變得更容易，則可以假設基礎分佈是高斯分佈。
解決方案：
- 可以構造一個無偏估計; 見knrumsey的回答
- 不可能構建一個無偏的、始終為正的估計因為當真實均值為 0 時，這些要求是衝突的；見溫克斯的回答
注意樣本均值 $ \bar{X} $ 也是正態分佈的，均值 $ \mu $ 和方差 $ \sigma^2/n $ . 這意味著 $$ \operatorname E(\bar{X}^2) = \operatorname E(\bar{X})^2 + \operatorname{Var}(\bar{X}) = \mu^2 + \frac{\sigma^2}n $$
如果您只關心無偏估計，則可以使用樣本方差無偏這一事實 $ \sigma^2 $ . 這意味著估計器 $$ \widehat{\mu^2} = \bar{X}^2 - \frac{S^2}n $$ 是公正的 $ \mu^2 $ .