為什麼均勻分佈（0 到 1 之間）的自然對數的平均值與 0.5 的自然對數不同？

對於使用生成的 0 和 1 之間的均勻分佈變量

rand(1,10000)

這將返回 0 到 1 之間的 10,000 個隨機數。如果取平均值，則為 0.5，而如果取該樣本的對數，則取結果的平均值：

mean(log(rand(1,10000)))

我希望結果是 log0.5=−.6931 ，但答案是-1。為什麼會這樣？

考慮對稱放置的兩個值 0.5 - 喜歡 0.4 和 0.6 或者 0.25 和 0.75 . 他們的日誌不是對稱的 log(0.5) . log(0.5−ϵ) 離得更遠 log(0.5) 比 log(0.5+ϵ) 是。所以當你平均它們時，你得到的東西少於 log(0.5) .

類似地，如果你在一組這樣的對稱放置的值的集合周圍採取一個很小的間隔，你仍然會得到每對的對數的平均值低於 log(0.5) …從觀察到日誌期望的定義是一件簡單的事情。

的確，通常， E(t(X))≠t(E(X)) 除非 t 是線性的。

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/433314