Mean
為什麼均勻分佈（0 到 1 之間）的自然對數的平均值與 0.5 的自然對數不同？
對於使用生成的 0 和 1 之間的均勻分佈變量
rand(1,10000)這將返回 0 到 1 之間的 10,000 個隨機數。如果取平均值，則為 0.5，而如果取該樣本的對數，則取結果的平均值：
mean(log(rand(1,10000)))我希望結果是 $ \log 0.5=-.6931 $ ，但答案是-1。為什麼會這樣？
考慮對稱放置的兩個值 $ 0.5 $ - 喜歡 $ 0.4 $ 和 $ 0.6 $ 或者 $ 0.25 $ 和 $ 0.75 $ . 他們的日誌不是對稱的 $ \log(0.5) $ . $ \log(0.5-\epsilon) $ 離得更遠 $ \log(0.5) $ 比 $ \log(0.5+\epsilon) $ 是。所以當你平均它們時，你得到的東西少於 $ \log(0.5) $ .
類似地，如果你在一組這樣的對稱放置的值的集合周圍採取一個很小的間隔，你仍然會得到每對的對數的平均值低於 $ \log(0.5) $ …從觀察到日誌期望的定義是一件簡單的事情。
的確，通常， $ E(t(X))\neq t(E(X)) $ 除非 $ t $ 是線性的。