混合模型：如何推導出亨德森的混合模型方程？
在最佳線性無偏預測變量 (BLUP) 的背景下，Henderson 指定了混合模型方程（參見 Henderson (1950): Estimation of Genetic Parameters. Annals of Mathematical Statistics, 21, 309-310）。讓我們假設以下混合效應模型：
y=Xβ+Zu+e
在哪裡 y 是 n 個可觀察隨機變量的向量， β 是一個向量 p 固定效果， X 和 Z 是已知矩陣，並且 u 和 e 重新向量 q 和 n 隨機效應使得 E(u)=0 和 E(e)=0 和
Var[u e ]=[G0 0R ]σ2
在哪裡 G 和 R 是已知的正定矩陣和 σ2 是一個正常數。
根據 Henderson (1950)，BLUP 估計 ˆβ 的 β 和 ˆu 的 u 定義為以下方程組的解：
X′R−1Xˆβ+X′R−1Zˆu=X′R−1y
Z′R−1Xˆβ+(Z′R−1Z+G−1)ˆu=Z′R−1y
（另請參閱：Robinson (1991)：BLUP 是一件好事：隨機效應的估計（帶討論）。統計科學，6:15-51）。
我沒有找到這個解決方案的任何推導，但假設他是這樣處理的：
(y−Xβ−Zu)‘V−1(y−Xβ−Zu)
在哪裡 V=R+ZGZ′ . 因此，解決方案應該是
X′V−1Xˆβ+X′V−1Zˆu=X′V−1y
Z′V−1Xˆβ+Z′V−1Zˆu=Z′V−1y .
我們也知道 V−1=R−1−R−1Z(G−1+Z′R−1Z)Z′R−1 .
但是，如何繼續得出混合模型方程？
一種方法是形成對數似然並根據隨機效應對其進行區分 u 並將其設置為零，然後重複，但相對於固定效果進行區分 β .
使用通常的正態假設，我們有：
y|u∼N(Xβ+Zu,R) u∼N(0,G)
在哪裡 y 是響應向量， u 和 β 是隨機效應和固定效應係數向量 X 和 Z 分別是固定效應和隨機效應的模型矩陣。那麼對數似然是：−2logL(β,u)=log|R|+(y−Xβ−Zu)′R−1(y−Xβ−Zu)+log|G|+u′G−1u
區分隨機效應和固定效應： ∂logL∂u=Z′R−1(y−Xβ−Zu)−G−1u ∂logL∂β=X′R−1(y−Xβ−Zu)在將它們都設置為零後，通過一些小的重新排列，我們得到 Henderson 的混合模型方程：Z′R−1y=Z′R−1Xβ+u(Z′R−1Z+G−1) X′R−1y=X′R−1Xβ+X′R−1Zu