混合模型：如何推導出亨德森的混合模型方程？
在最佳線性無偏預測變量 (BLUP) 的背景下，Henderson 指定了混合模型方程（參見 Henderson (1950): Estimation of Genetic Parameters. Annals of Mathematical Statistics, 21, 309-310）。讓我們假設以下混合效應模型：
$ y = X\beta+Zu+e $
在哪裡 $ y $ 是 n 個可觀察隨機變量的向量， $ \beta $ 是一個向量 $ p $ 固定效果， $ X $ 和 $ Z $ 是已知矩陣，並且 $ u $ 和 $ e $ 重新向量 $ q $ 和 $ n $ 隨機效應使得 $ E(u) = 0 $ 和 $ E(e) = 0 $ 和
$ Var \begin{bmatrix} u \ e \ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} G & 0 \ 0 & R \ \end{bmatrix}\sigma^2 $
在哪裡 $ G $ 和 $ R $ 是已知的正定矩陣和 $ \sigma^2 $ 是一個正常數。
根據 Henderson (1950)，BLUP 估計 $ \hat {\beta} $ 的 $ \beta $ 和 $ \hat {u} $ 的 $ u $ 定義為以下方程組的解：
$ X’R^{-1}X\hat {\beta}+X’R^{-1}Z\hat {u} = X’R^{-1}y $
$ Z’R^{-1}X\hat {\beta}+(Z’R^{-1}Z + G^{-1})\hat {u} = Z’R^{-1}y $
（另請參閱：Robinson (1991)：BLUP 是一件好事：隨機效應的估計（帶討論）。統計科學，6:15-51）。
我沒有找到這個解決方案的任何推導，但假設他是這樣處理的：
$ (y - X\beta - Zu)‘V^{-1}(y - X\beta - Zu) $
在哪裡 $ V = R + ZGZ’ $ . 因此，解決方案應該是
$ X’V^{-1}X\hat {\beta} + X’V^{-1}Z\hat {u} = X’V^{-1}y $
$ Z’V^{-1}X\hat {\beta} + Z’V^{-1}Z\hat {u} = Z’V^{-1}y $ .
我們也知道 $ V^{-1} = R^{-1} - R^{-1}Z(G^{-1}+Z’R^{-1}Z)Z’R^{-1} $ .
但是，如何繼續得出混合模型方程？
一種方法是形成對數似然並根據隨機效應對其進行區分 $ \mathbf{u} $ 並將其設置為零，然後重複，但相對於固定效果進行區分 $ \boldsymbol{\beta} $ .
使用通常的正態假設，我們有：
$$ \begin{align*} \mathbf{y|u} &\sim \mathcal{N}\mathbf{(X\beta + Zu, R)} \ \mathbf{u} &\sim \mathcal{N}(\mathbf{0, G}) \end{align*} $$ 在哪裡 $ \mathbf{y} $ 是響應向量， $ \mathbf{u} $ 和 $ \boldsymbol{\beta} $ 是隨機效應和固定效應係數向量 $ \mathbf{X} $ 和 $ \mathbf{Z} $ 分別是固定效應和隨機效應的模型矩陣。那麼對數似然是：
$$ -2\log L(\boldsymbol{\beta,}\mathbf{u}) = \log|\mathbf{R}|+(\mathbf{y - X\boldsymbol{\beta} - Zu})'\mathbf{R}^{-1}(\mathbf{y - X\boldsymbol{\beta} - Zu}) +\log|\mathbf{G}|+\mathbf{u’G^{-1}u} $$ 區分隨機效應和固定效應： $$ \begin{align*} \frac{\partial \log L}{\partial \mathbf{u}} &= \mathbf{Z’R^{-1}}(\mathbf{y - X\boldsymbol{\beta} - Zu}) - \mathbf{G^{-1}u} \ \frac{\partial \log L}{\partial \boldsymbol{\beta}} &= \mathbf{X’R^{-1}}(\mathbf{y - X\boldsymbol{\beta} - Zu}) \end{align*} $$ 在將它們都設置為零後，通過一些小的重新排列，我們得到 Henderson 的混合模型方程：
$$ \begin{align*} \mathbf{Z’R^{-1}}\mathbf{y} &= \mathbf{Z’R^{-1}X\boldsymbol{\beta}} + \mathbf{u(Z’R^{-1}Z+G^{-1})} \ \mathbf{X’R^{-1}}\mathbf{y} &= \mathbf{X’R^{-1}X\boldsymbol{\beta}} + \mathbf{X’R^{-1}Zu} \end{align*} $$