Mode
泊松二項分佈的眾數是否靠近均值？
泊松二項式變量 X∼PB(p1,…,pn) 是總和 n 獨立的，不一定同分佈的伯努利變量 X1,…,Xn ： X=n∑i=1Xi,
和 Xi∼Ber(pi) .Poisson-Binomial 分佈是單峰的，並且 E[X]=∑ni=1pi=μ.
問題：模式是否總是這樣 ⌊μ⌋ 要么 ⌈μ⌉ ?
在我看來，情況就是這樣。PB 分佈是二項分佈的推廣，具有較低或相等的熵。因此，概率質量在某種意義上更集中在均值附近，這表明答案是肯定的。
我做了一些數值實驗，並沒有找到反例，這更加堅定了我的懷疑。
Darroch, JN “關於獨立試驗成功次數的分佈。” 數理統計年鑑 35.3（1964）：1317-1321，
證明泊松二項式變量的眾數滿足以下條件：
mode={kifk≤μ≤k+1k+2, kork+1ifk+1k+2≤μ≤k+1−1n−k+1, k+1ifk+1−1n−k+1≤μ≤k+1.
因此，眾數與平均值的差異最多 1 . 請注意，泊松二項分佈可以有一個或兩個連續模式。