泊松二項分佈的眾數是否靠近均值？
泊松二項式變量 $ X\sim PB(p_1, \dots, p_n) $ 是總和 $ n $ 獨立的，不一定同分佈的伯努利變量 $ X_1, \dots, X_n $ ： $$ X=\sum_{i=1}^n X_i, $$ 和 $ X_i\sim Ber(p_i) $ .
Poisson-Binomial 分佈是單峰的，並且 $ \mathbb E[X]=\sum_{i=1}^np_i=\mu. $
問題：模式是否總是這樣 $ \lfloor \mu \rfloor $ 要么 $ \lceil \mu \rceil $ ?
在我看來，情況就是這樣。PB 分佈是二項分佈的推廣，具有較低或相等的熵。因此，概率質量在某種意義上更集中在均值附近，這表明答案是肯定的。
我做了一些數值實驗，並沒有找到反例，這更加堅定了我的懷疑。
Darroch, JN “關於獨立試驗成功次數的分佈。” 數理統計年鑑 35.3（1964）：1317-1321，
證明泊松二項式變量的眾數滿足以下條件：
$$ \begin{equation} mode= \begin{cases} k \hspace{3mm}if\hspace{3mm}k \leq \mu \leq k+\frac{1}{k+2},\ k \hspace{3mm}or\hspace{3mm} k+1\hspace{3mm}if\hspace{3mm} k+\frac{1}{k+2} \leq \mu \leq k+1 - \frac{1}{n-k+1},\ k+1\hspace{3mm}if\hspace{3mm}k+1 - \frac{1}{n-k+1} \leq \mu \leq k+1. \end{cases} \end{equation} $$
因此，眾數與平均值的差異最多 $ 1 $ . 請注意，泊松二項分佈可以有一個或兩個連續模式。