您如何用外行的術語解釋矩生成函數（MGF）？
什麼是矩生成函數 (MGF)？
你能用外行的話和一個簡單易懂的例子來解釋它嗎？
請盡可能限制使用正式的數學符號。
讓我們假設沒有方程的直覺是不可能的，並且仍然堅持將數學歸結為最本質的東西以了解正在發生的事情：我們試圖獲得統計矩，在強制性參考物理學之後，我們定義為**隨機變量的冪的期望值。**對於連續隨機變量，原始 k - 時刻是由LOTUS：
E[Xk]=∫∞−∞Xk,,pdf,,,dx
矩生成函數，MX(t):=E[etX],
是一種**繞過這個積分（Eq.1）**的方法，而是執行：E[e,tX]=∫∞−∞etX,pdf,dx
為什麼？因為它更容易，並且通過擴展Maclaurin 系列可以看到 MGF 的奇妙特性 e,tX
etX=1+X1!,t+X22!t2+X33!t3+⋯
取本次冪級數雙方的期望：
MX(t)=E[e,tX]\[1.5ex]=1+E[X]1!,t,+E[X2]2!,t2,+E[X3]3!,t3,+⋯
這些時刻似乎“棲息”在這個多項式“晾衣繩”上，準備好通過簡單的微分來剔除 k 一旦我們經歷了更容易的積分（在等式（2）中），時間和評估為零**！**當 pdf 為指數時，它更容易集成這一事實最為明顯。
要恢復 k -時刻：
M(k)X(0)=dkdtkMX(t)|t=0
最終需要區分的事實使它不是免費的午餐 - 最後它是pdf的雙邊拉普拉斯變換，指數中的符號發生了變化：
Lpdf(x)(s)=∫∞−∞e−sxpdf(x)dx
這樣MX(t)=Lpdf(x)(−s).
實際上，這為我們提供了通往直覺的物理途徑。拉普拉斯變換作用於 pdf 並將其分解為片刻。與傅里葉變換的相似性是不可避免的：FT 將函數映射到實線上的新函數，而拉普拉斯將函數映射到復平面上的新函數。傅里葉變換將函數或信號表示為一系列頻率，而拉普拉斯變換將函數解析為它的矩。事實上，獲得矩的另一種方式是通過傅里葉變換（特徵函數）。拉普拉斯變換中的指數項通常為 e−st 和 s=σ+i,ω ，對應於實指數和虛正弦曲線，並產生如下圖：
[摘自Steven W. Smith 的《科學家和工程師信號處理指南》 ]
因此 MX(t) 函數分解 pdf 以某種方式進入其“組成頻率”時 σ=0. 從等式。(4):
MX(t)=E[e−sX]\[2ex]=∫∞−∞e−sx,pdf(x),dx\[2ex]=∫∞−∞e−(σ+iω)x,pdf(x),dx\[2ex]=∫∞−∞e−σx,e−iωx,pdf(x),dx
這給我們留下了紅色部分錶達式的不正確積分，對應於 pdf 的傅里葉變換。
通常，函數的拉普拉斯變換極點的直覺是它們提供函數的指數（衰減）和頻率分量（在本例中為 pdf）的信息。
回答關於從 Xk 到 etx ，這是一個完全戰略性的舉措：一種表達方式不遵循另一種表達方式。這是一個類比：我們有自己的汽車，每次需要處理一些事務時，我們都可以自由地開車進城（閱讀，整合 Eq (1) 無論每一個單獨的時刻有多艱難）。相反，我們可以做一些完全不同的事情：我們可以開車到最近的地鐵站（閱讀，解方程 (2) 一次），然後從那裡使用公共交通工具到達我們需要訪問的每個地方（閱讀，獲取任何 k 方程中積分的導數 (2) 提取任何一個 k - 我們需要的時刻，知道（感謝 Eq (3) ）所有的時刻都“隱藏”在那裡，並通過區分和評估在 0 .
