對蒙特卡洛 Pi 估計的誤解
我相當確定我了解蒙特卡洛積分的工作原理，但我不了解如何使用它來估計 Pi 的公式。我將按照本演示文稿第五張幻燈片中概述的程序進行操作http://homepages.inf.ed.ac.uk/imurray2/teaching/09mlss/slides.pdf
我了解初步步驟。Pi等於單位圓四分之一面積的4倍。以 (0,0) 為中心的單位圓右上四分之一的面積等價於曲線的積分，即單位圓右上四分之一的面積和.
我不明白的是這個積分是怎麼回事
在哪裡均勻分佈在四分之一圓周圍的單位正方形中（即，如果它始終等於 1和否則為 0）。所以這意味著
是作為單位圓右上象限的函數和但我不明白這是怎麼回事，因為指標函數只能是 1 或 0。我知道它可能是以這種方式編寫的，以使蒙特卡洛採樣變得容易（即這是一種期望，所以只需從並獲得應用於的樣本的平均值) 但對我來說，為什麼該積分代表該曲線下的面積並沒有直觀的意義。
有人可以對此提供直觀的解釋。也許展示這個積分是如何一步一步地推導出來的？
編輯：
通過將期望與一個區域聯繫起來，我能夠獲得更好的理解。我會在這裡解釋它以防它幫助任何人。首先將 Pi 與單位圓右上象限的面積相關聯
然後我們將右上角的象限放入單位正方形中。在單位正方形上均勻分佈的情況下，圓形象限的面積與從中獲得樣本的概率成正比。由此得出以下等式成立
和所以
並代入原方程
這也是真的等於原來的二重積分。
因此，我通過將面積與概率相關聯，然後將該概率與等效於積分的期望相關聯來理解它。讓我知道我是否犯了任何錯誤。
圓半徑圓的面積等於. 這意味著四分之一的圓有面積. 這意味著邊為圓半徑的正方形為.
這意味著四分之一圓的面積與正方形的面積之比為.
一個點 如果在廣場上. 如果它在四分之一圓內 .
你的積分是如此這正是四分之一圓所描述的區域
