如何計算 OLS 多元回歸的預測區間？
計算多元回歸預測區間的代數符號是什麼？
這聽起來很傻，但我很難找到一個清晰的代數符號。
採用回歸模型 $ N $ 觀察和 $ k $ 回歸者： $$ \mathbf{y=X\beta+u} \newcommand{\Var}{\rm Var} $$
給定一個向量 $ \mathbf{x_0} $ ，該觀察的預測值將是 $$ E[y \vert \mathbf{x_0}]=\hat y_0 = \mathbf{x_0} \hat \beta. $$ 該預測的方差的一致估計是 $$ \hat V_p=s^2 \cdot \mathbf{x_0} \cdot(\mathbf{X’X})^{-1}\mathbf{x'0}, $$在哪裡$$ s^2=\frac{\Sigma{i=1}^{N} \hat u_i^2}{N-k}. $$ 特定的預測誤差 $ y_0 $ 是 $$ \hat e=y_0-\hat y_0=\mathbf{x_0}\beta+u_0-\hat y_0. $$ 之間的零協方差 $ u_0 $ 和 $ \hat \beta $ 暗示 $$ \Var[\hat e]=\Var[\hat y_0]+\Var[u_0], $$並且一致的估計是 $$ \hat V_f=s^2 \cdot \mathbf{x_0} \cdot(\mathbf{X’X})^{-1}\mathbf{x'_0} + s^2. $$
這 $ 1-\alpha $ $ \rm confidence $ 間隔將是：$$ y_0 \pm t_{1-\alpha/2}\cdot \sqrt{\hat V_{p}}. $$ 這 $ 1-\alpha $ $ \rm prediction $ 間隔會更寬：$$ y_0 \pm t_{1-\alpha/2}\cdot \sqrt{\hat V_{f}}. $$