二次型和卡方分佈
這是關於二次形式和卡方分佈的演示。
讓我們拆分問題：
- 我們有一個具有 n 個標準化正態分佈的向量稱為. 明顯地是一個
- 如果我們有一個對稱的冪等矩陣（即稱為） 然後在哪裡是等級. 我得到了這個分裂矩陣與譜定理成：因此： 我們稱之為因此. 因為它是一個冪等矩陣，所以我們只有 1 或 0 作為特徵值，而 1 的數量正好是. 然後我們有現在具有不同的長度作為等級的數量. 我們倒退這個過程，我們得到：但（它們是正交的，因為我們考慮了特徵向量）所以我們有 .
- 現在問題來了：如果我們有一個對稱的正定矩陣我的老師告訴我是一個分配。我試圖找到一個證據，但我找不到。
- 我的努力是：再次使用譜定理，因此我們有：但現在是一個實數正數的對角矩陣（因為它是正定的）。
=
我們像以前一樣呼籲，因此我們有：. 假設 w 是 3 維向量，具有 3 個元素，稱為 a、b 和 c。所以
所以 在這裡我被困住了。也許最後一點是錯誤的。因此，我要求澄清並明確證明我的老師所說的話。
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我找到了這個：
*讓 做一個標準多元正態隨機向量，即 . 讓 是正交的 實矩陣。定義
然後也 具有標準的多元正態分佈，即.* 我對此沒意見，證據在這裡：https ://www.statlect.com/probability-distributions/normal-distribution-quadratic-forms 所以我的問題會是這樣的：在哪裡並且根據這個定理因為 Q 是一個正交矩陣。所以，如果 w 是一個 3 維向量，我會有這樣的東西：
卡方分佈與加權特徵值的線性組合。我對嗎？如果我是，這個總和有特定的分佈嗎？
一般來說，二次型是一個加權和 $ \chi_1^2 $
一般情況下，這是不正確的 $ \mathbf{z}^\text{T} \mathbf{\Sigma} \mathbf{z} \sim \chi^2_p $ 對於任何對稱正定（方差）矩陣 $ \mathbf{\Sigma} $ . 使用你得到的譜定理分解這個二次形式：
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \mathbf{z}^\text{T} \mathbf{\Sigma} \mathbf{z} = \mathbf{z}^\text{T} \mathbf{Q} \mathbf{\Lambda} \mathbf{Q}^\text{T} \mathbf{z} &= (\mathbf{Q}^\text{T} \mathbf{z})^\text{T} \mathbf{\Lambda} (\mathbf{Q}^\text{T} \mathbf{z}) \[6pt] &= \sum_{i=1}^p \lambda_i ( \mathbf{q}_i \cdot \mathbf{z} )^2, \[6pt] \end{aligned} \end{equation} $$
在哪裡 $ \mathbf{q}_1,…,\mathbf{q}_p $ 是的特徵向量 $ \mathbf{\Sigma} $ （即，列 $ \mathbf{Q} $ ）。定義隨機變量 $ y_i = \mathbf{q}_i \cdot \mathbf{z} $ . 自從 $ \mathbf{\Sigma} $ 是一個實對稱矩陣，特徵向量 $ \mathbf{q}_1,…,\mathbf{q}_p $ 是正交的，這意味著 $ y_1,…,y_p \sim \text{IID N}(0,1) $ . 因此，我們有：
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \mathbf{z}^\text{T} \mathbf{\Sigma} \mathbf{z} &= \sum_{i=1}^p \lambda_i ( \mathbf{q}i \cdot \mathbf{z} )^2 \[6pt] &= \sum{i=1}^p \lambda_i \cdot y_i^2 \[6pt] &\sim \sum_{i=1}^p \lambda_i \cdot \chi_1^2. \[6pt] \end{aligned} \end{equation} $$
我們可以看到二次型的分佈是一個加權和 $ \chi_1^2 $ 隨機變量，其中權重是方差矩陣的特徵值。在這些特徵值都是一的特殊情況下，我們確實得到了 $ \mathbf{z}^\text{T} \mathbf{\Sigma} \mathbf{z} \sim \chi_n^2 $ , 但總的來說這個結果不成立。事實上，我們可以看到，一般來說，二次型分佈為每個具有一個自由度的卡方隨機變量的加權和。這種形式的一般分佈很複雜，它的密度函數沒有封閉的形式表示。 Bodenham 和 Adams (2015)研究了該分佈的一些近似值，並提供了與模擬的比較。