Normal-Distribution
樣本中位數的中心極限定理
如果我計算從同一分佈中提取的足夠多的觀測值的中位數，中心極限定理是否表明中位數的分佈將接近正態分佈？我的理解是，大量樣本的均值是這樣，但中位數也是如此嗎？
如果不是，樣本中位數的基本分佈是什麼？
如果您根據指標變量（即 $ Z_i = 1 $ 如果 $ X_i \leq x $ 和 $ 0 $ 否則），您可以直接將中心極限定理應用於 $ Z $ 的，並通過使用Delta 方法，將其轉換為漸近正態分佈 $ F_X^{-1}(\bar{Z}) $ ，這反過來意味著你得到了固定分位數的漸近正態性 $ X $ .
因此，不僅是中位數，還有四分位數、第 90 個百分位數……等等。
鬆散地說，如果我們談論的是 $ q $ 在足夠大的樣本中的第 th 個樣本分位數，我們得到它將近似地具有正態分佈，其均值為 $ q $ 第人口分位數 $ x_q $ 和方差 $ q(1-q)/(nf_X(x_q)^2) $ .
因此對於中位數 ( $ q = 1/2 $ )，足夠大的樣本中的方差將大約為 $ 1/(4nf_X(\tilde{\mu})^2) $ .
當然，你需要一路上的所有條件，所以它並不適用於所有情況，但對於人口分位數的密度為正且可微的連續分佈等，……
此外，它不適用於極端分位數，因為 CLT 不會在那裡發揮作用（Z 的平均值不會漸近正態）。對於極值，您需要不同的理論。
編輯：whuber 的批評是正確的；這將工作，如果 $ x $ 是總體中位數而不是樣本中位數。需要修改參數才能真正正常工作。