獨立同分佈隨機變量和的平方根的中心極限定理

對 math.stackexchange 上的一個問題感興趣，並根據經驗對其進行調查，我想知道以下關於 iid 隨機變量和的平方根的陳述。

認為是具有有限非零均值的獨立同分佈隨機變量和方差， 和. 中心極限定理說作為增加。

如果, 我也可以說類似作為增加？

例如，假設伯努利是平均數和方差， 然後是二項式的，我可以在 R 中模擬這個，比如：

set.seed(1)
cases <- 100000
n <- 1000
p <- 1/3
Y <- rbinom(cases, size=n, prob=p)
Z <- sqrt(abs(Y))

這大約給出了希望的均值和方差

> c(mean(Z), sqrt(n*p - (1-p)/4))
[1] 18.25229 18.25285
> c(var(Z), (1-p)/4)
[1] 0.1680012 0.1666667

和一個看起來接近高斯的 QQ 圖

qqnorm(Z)

收斂到高斯確實是一種普遍現象。

假設是具有均值的 IID 隨機變量和方差，並定義總和. 修正一個號碼. 通常的中心極限定理告訴我們作為， 在哪裡是標準的正常 cdf。然而，限制 cdf 的連續性意味著我們也有

因為不等式右邊的附加項趨於零。重新排列這個表達式會導致 取平方根，並註意到暗示， 我們獲得

換句話說，. 該結果表明在極限內收斂到高斯為. 這是否意味著是一個很好的近似值對於大? 好吧，我們可以做得比這更好。正如@Henry 所說，假設一切都是積極的，我們可以使用， 和…一起和近似值, 以獲得改進的近似值如上述問題所述。另請注意，我們仍然有

因為作為.

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/241504