退化的單變量高斯
我正在觀看有關高斯分佈的視頻，它將退化的單變量高斯定義為方差為零的高斯。但是，我真的很難理解如何為此定義高斯。
高斯在整條線上應該是非零的。因此，在退化的情況下，情況並非如此，因為它會為零，除非在某個點。是否有一些可以定義的限制情況？
最重要的是，在公式中將方差設為零當然是行不通的。所以，我假設它是這樣的，但找不到任何好的解釋。
**這個問題在兩個不同的數學意義上使用“高斯”（這就是它的分辨率）：**首先作為分佈，然後 - 在第二段的開頭 - 作為概率密度函數。但是，**退化的高斯沒有 PDF。**因此，我們應該根據一個無論如何都保證存在的對象來可視化分佈；即累積分佈函數。退化高斯的 CDF（均值 $ \mu $ ) 從 $ 0 $ 到 $ 1 $ 在價值 $ \mu $ ，對定義或限制值沒有任何困難。
高斯密度確實隨著標準差的減小而“退化”，因為它在平均值處變得任意大並在其他地方收縮到零，如這些具有標準差的高斯（“正態”）分佈的 PDF 圖中所示 $ 1, 1/4, 1/16, $ 和 $ 1/64 $ . （為了更好的可視化，垂直軸在第三個分佈的峰值處被截斷；最後一個最窄的峰值（以藍色顯示）延伸到上方 $ 25 $ .)
峰必須變得非常大以補償縮小的寬度，因為 PDF 通過面積表示概率，並且根據概率公理的要求，總面積將等於 $ 1 $ 只有當曲線在另一個（垂直）方向變大時。有關進一步的解釋，請參閱超過 1 的概率分佈值是可以的。這種行為沒有明確的限制 $ \mu $ 但所有其他數字的限制為零。無論我們關心分配給極限的值是多少 $ \mu $ - 甚至 ” $ +\infty $ “——這個限制函數下的面積為零，所以它不可能是任何分佈的PDF。
相反，CDF 在小標準偏差的限制下接近一條明確的曲線，這在這四個分佈的 CDF 的相應圖中很明顯：
顏色以與上圖相同的方式對應於分佈。具有標準差的分佈的 CDF $ 1/64 $ ，以藍色顯示，從 $ 0 $ 到 $ 1 $ 在均值附近的很短的空間內 $ \mu $ . 在零標準偏差的極限中，飛躍將是瞬時的：極限曲線在所有小於的值處為零 $ \mu $ 和 $ 1 $ 在所有值大於 $ \mu $ 或更大。（一個微妙的點是限製曲線的值在 $ \mu $ 本身就是 $ 1/2. $ 這很好理解；相關定理沒有斷言限制 CDF 有跳躍的點處的限制值是正確的。）這個跳躍代表了一個“原子”在 $ \mu $ 所有概率都集中在哪裡。限制函數確定了一個有效的概率分佈，但是現在，因為它將所有概率定位在一組可數的點（即單個點）內，所以它是離散的而不是連續的。通常我們會使用它的概率質量函數（等於 $ 1 $ 在 $ \mu $ ）。
