相關卡方隨機變量的比率分佈

假使，假設在哪裡是獨立的。

我的問題是，分佈是做什麼的

跟隨？我從這裡知道兩個卡方隨機變量的比率表示為遵循 Beta 分佈。我認為這假設了和. 但就我而言，分母包含的組件平方。

我認為還必須遵循 Beta 分佈的變體，但我不確定。如果這個假設是正確的，我不知道如何證明它。

這篇文章詳細說明了問題評論中的答案。

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讓. 修復任何單位長度。這樣的向量可能總是在正交基上完成（例如，通過Gram-Schmidt 過程）。這種基礎的變化（與通常的基礎不同）是正交的：它不會改變長度。因此分佈

不依賴於. 服用表明這具有相同的分佈

由於是 iid Normal，它們可以寫成倍 iid 標準正態變量他們的正方形是次分佈。由於總和獨立的分佈是, 我們確定了分佈是

在哪裡和是獨立的。眾所周知，這個比率有一個Beta分配。（另請參閱Distribution of如果貝塔和卡方與度。）

自從

對於單位向量, 我們得出結論是Beta 倍變量。 為了因此它具有密度函數

在區間（否則為零）。

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作為檢查，我模擬了的獨立實現為了和，繪製了它們的直方圖，並疊加了相應的 Beta 密度圖（紅色）。協議非常好。

這是R代碼。它通過以下公式sum(x)^2 / sum(x^2)進行模擬，其中是由 生成x的長度向量。其餘的只是循環 ( , ) 和繪圖 ( , )。n``rnorm``for``apply``hist``curve

for (n in c(2, 3, 10)) {
 z <- apply(matrix(rnorm(n*1e5), nrow=n), 2, function(x) sum(x)^2 / sum(x^2))
 hist(z, freq=FALSE, breaks=seq(0, n, length.out=50), main=paste("n =", n), xlab="Z")
 curve(dbeta(x/n, 1/2, (n-1)/2)/n, add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/88628