Normal-Distribution
來自多元法線的向量的預期大小
從 p 維球面法線繪製的向量的預期大小是多少，即到原點的歐幾里得距離和和， 在哪裡是單位矩陣？
在單變量情況下，這歸結為， 在哪裡. 這是平均值具有均值的折疊正態分佈和方差，可以計算為：
由於多元法線是球面的，我想通過切換到極坐標來簡化問題。折疊正態分佈不應該在任何方向上到原點的距離嗎？我可以對所有距離進行積分，乘以遇到具有該距離的樣本的（無窮小）概率（例如CDF（半徑）-CDF（半徑-h），) 並最終通過與維度超球面上的“點數”相乘來實現多維度的飛躍? 例如對於一個圓圈，一個球體？我覺得這可能是一個簡單的問題，但我不確定如何分析地表達.
簡單的實驗表明，預期距離遵循以下形式，但我被困在如何實現多元分佈的飛躍。順便說一句，解決方案會好的。
的平方和獨立標準正態分佈是一個卡方分佈自由程度。幅度是該隨機變量的平方根。它有時被稱為 chi 分佈。（請參閱此Wikipedia 文章。）常見差異是一個簡單的比例因子。
將一些評論合併到這個答案中：
chi 分佈的平均值自由度是
特殊情況如下所述：
為了, 折疊正態分佈的均值 .
為了，該分佈也稱為瑞利分佈（尺度參數為1），其均值為.
為了, 該分佈稱為Maxwell 分佈，參數為 1；它的意思是.
當共同方差不是 1，均值必須乘以.