來自正常樣本的最小階統計的期望值
2014 年 1 月 25 日更新： 該錯誤現已更正。請忽略上傳圖片中預期值的計算值 - 它們是錯誤的 - 我不會刪除圖片，因為它已經生成了這個問題的答案。
2014 年 1 月 10 日更新： 發現錯誤 - 使用的一個來源中的數學錯字。正在準備修正…
來自集合的最小階統計的密度具有 cdf 的 iid 連續隨機變量和pdf是
如果這些隨機變量是標準正態的，那麼
所以它的期望值為
我們使用了標準法線的對稱屬性。在Owen 1980 , p.402, eq.[ n,011 ] 我們發現
eq之間的匹配參數和(,） 我們獲得
再次在歐文 1980 年，第 3 頁。409, eq [ n0,010.2 ] 我們發現
在哪裡是標準多元正態分佈，是成對相關係數和.
匹配和我們有，,， 和
使用這些結果，eq變成
這個等相關變量的多元標準正態概率積分，所有評估為零，已經進行了足夠的研究，並且已經導出了各種近似和計算它的方法。Gupta (1963)是一篇廣泛的評論（一般與多元正態概率積分的計算有關） 。Gupta 為各種相關係數和多達 12 個變量提供顯式值（因此它涵蓋了 14 個變量的集合）。結果是**（最後一列錯誤）**：
現在，如果我們繪製圖表的值變化與，我們會得到
所以我得出了我的三個問題/要求：
1）有人可以通過分析檢查和/或通過模擬驗證預期值的結果是否正確（即檢查 eq 的有效性)?
2）假設該方法是正確的，有人可以為具有非零均值和非單一方差的法線提供解決方案嗎？隨著所有的轉變，我感到非常頭暈。
- 概率積分的值似乎演變平穩。如何用一些函數來近似它?
您的結果似乎不正確。這很容易看出，無需任何計算，因為在您的表格中，您的 $ E[X_{(1)}] $ 隨著樣本量的增加 $ n $ ; 顯然，樣本最小值的期望值必須隨著樣本量變小（即變得更負） $ n $ 變大。
這個問題在概念上很容易。
簡而言之：如果 $ X $ ~ $ N(0,1) $ 帶PDF $ f(x) $ :
…然後是一階統計數據的pdf（在大小樣本中 $ n $ ） 是：
…在此處使用 中的
OrderStat函數獲得mathStatica，具有支持域：
然後， $ E[X_{(1)}] $ ， 為了 $ n = 1,2,3 $ 可以很容易地完全得到：
最正確 $ n = 3 $ 情況大約是 $ -0.846284 $ ，這顯然與您的 -1.06（表的第 1 行）的工作方式不同，因此您的工作方式似乎很明顯有問題（或者我對您正在尋找的東西的理解）。
為了 $ n \ge 4 $ ，獲得封閉形式的解決方案更加棘手，但即使符號積分證明很困難，我們也可以始終使用數值積分（如果需要，可以使用任意精度）。這真的很容易……例如，這裡是 $ E[X_{(1)}] $ , 對於樣本量 $ n = 1 $ 到 14，使用Mathematica：
sol = Table[NIntegrate[x g, {x, -Infinity, Infinity}], {n, 1, 14}]{0., -0.56419, -0.846284, -1.02938, -1.16296, -1.26721, -1.35218, -1.4236, -1.48501, -1.53875, -1.58644, -1.62923, -1.66799, -1.70338}
全做完了。這些值顯然與表中的值（右側列）非常不同。
考慮更一般的情況 $ N(\mu, \sigma^2) $ 父母，完全按照上面的方法進行，從一般的 Normal pdf 開始。
