球面仰角是如何分佈的(x,y,與)(X,和,和)(x,y,z)被統一且正常地選擇？

January 25, 2017

作為極坐標如何的後續行動，, 分佈在而如果?

認為如何和分散式？

很明顯，從上一個問題的精彩答案中可以看出看起來像這樣：

但為什麼沒有得到最大的可能性?

如果我們選擇以正態分佈的方式，我們得到這 2 個 pdf：

有沒有名字和兩種情況下的分佈？對我來說，它看起來像區間分佈.

在我在這裡的討論中，我假設你的實際上是一個經度和實際上是一個緯度。也許更典型的球坐標使用從北極向下而不是從赤道向上的角度，並從中交換兩個符號的角色 - 但無論哪種方式處理它都沒有問題，所以我會堅持你的符號似乎是。

請注意，這裡不關心半徑的分佈，只關心角度，所以我們可以在不改變角度的情況下將所有東西投影到一個單位球體上。這在正常情況下非常有用。

對於像三維標準法線這樣的球對稱分佈，傾角分佈的出現與以下事實有關：球體表面上赤道附近的面積比兩極附近的面積大得多。

如果您通過數學（或根據類似於早期的二維問題的概率元素編寫幾何參數），您可以得到傾斜的密度應該與. 這是一個幾何論點，應該用“概率元素”術語來激發它：

因為赤道的半徑是1，緯度的半徑是是, 緯度周長正比於，因此密度為正比於.

均勻情況：將 3D 均勻歸一化為恆定半徑，球體上的密度不均勻，原因與我們在 2D 情況下沒有的相同 - 當你投影到球體上時，還有更多“ “密度”在球體上靠近角的角度比邊的位置（靠近邊緣中間的部分介於兩者之間） - 因為靠近角落的角度比角度有更多的立方體體積靠近臉的中間。

我們可以通過在立方體中均勻地生成許多隨機值並將它們投影到球體上來看到這一點。由於角落附近的體積比立方體的面附近的體積大，因此從角落“向內”看的密度比從面看的密度更大。如果我們繪製高度（回想一下，這是一個投影 z 值，，在哪裡）在赤道上方對經度，我們得到下面的頂部圖：

該高度對應於上圖中直角三角形的垂直邊；那個高度是的(）。將其轉換為緯度（)，我們將採用投影垂直高度的反正弦值，這就是我們在下圖中看到的。我們越接近極點，這就越“拉伸”事物，使得作為緯度函數的密度在北極和南極下降到 0（對於均勻情況和正常情況）。

密度為然後將是該二元密度的積分.

看著邊緣（即以固定值運行的條帶) 使得密度的四個峰值正如您所注意到的 - 實際上這直接來自 2D 案例，但正如我們現在所看到的，它也導致了密度的一對峰值遠離赤道，對應於單位球體表面上立方體的角和上/下邊緣投影的區域。