怎麼𝜃θtheta，極坐標，分佈時(𝑥,𝑦)∼𝑈(−1,1)×𝑈(-1,1)(X,是的)～ü(-1,1)×ü(-1,1)(x,y) sim U(-1,1) times U(-1,1)與何時(𝑥,𝑦)∼𝑁(0,1)×𝑁(0,1)(X,是的)～ñ(0,1)×ñ(0,1)(x,y) sim N(0,1)times N(0,1)?
讓笛卡爾隨機點的坐標被選擇 st.
因此，半徑，, 不是均勻分佈的的.pdf _
儘管如此，我希望幾乎是統一的，不包括由於邊緣 4 個剩餘物引起的偽影：
以下是圖形計算的概率密度函數和：
現在如果我讓分發st然後似乎是均勻分佈的：
為什麼不統一時並且是均勻的?
我使用的 Matlab 代碼：
number_of_points = 100000; rng('shuffle') a = -10; b = 10; r = (b-a).*randn(2,number_of_points); r = reshape(r, [2,number_of_points]); I = eye(2); e1 = I(:,1); e2 = I(:,2); theta = inf*ones(1,number_of_points); rho = inf*ones(1,number_of_points); for i=1:length(r(1,:)) x = r(:,i); [theta(i),rho(i)] = cart2pol(x(1),x(2)); end figure M=3;N=1; bins = 360; subplot(M,N,1); histogram(rad2deg(theta), bins) title('Polar angle coordinate p.d.f'); subplot(M,N,2); histogram(rho, bins); title('Polar radius coordinate p.d.f'); subplot(M,N,3); histogram(r(:)); title('The x-y cooridnates distrbution (p.d.f)');代入第 3 行：
r = (b-a).*randn(2,number_of_points);withr = (b-a).*randn(2,number_of_points) +a ;會改變分佈從正常到均勻。
您指的是一對獨立變量的轉換到極地表示（半徑和角度），然後查看邊緣分佈.
我將提供一個有點直觀的解釋（儘管密度的數學推導本質上是我非正式描述的）。
請注意，如果您將兩個變量 X 和 Y 縮放一些常見的比例（例如從 U(-1,1) 到 U(-10,10) 或從 N(0,1) 到 N(0,20)同時在兩個變量上），這對角度的分佈沒有影響（它只影響半徑分佈的比例）。所以讓我們只考慮單位情況。
首先考慮一下制服的情況。請注意，該分佈在單位平方上是均勻的，因此包含在其中的區域中的概率密度與區域的面積成正比。具體來說，查看與角度元素相關的密度，接近水平面（近角）和對角線（近角):
顯然是概率元素（即面積）對應於角度元素（) 當角度接近對角線之一時更大。確實考慮在正方形內畫一個圓圈；圓內一個給定的小角度所跨越的區域是恆定的，然後當我們接近對角線時，圓外的部分會增長，在那裡它達到最大值。
這完全解釋了您在模擬中看到的模式。
事實上，我們可以看到，密度必須與從正方形中心到邊緣的線段長度成正比；簡單的三角函數足以從那裡推導出密度，然後很容易找到使密度積分為 1 所需的常數。
[編輯：添加了下一位來討論半徑，因為自我最初的回答以來問題已經改變。]
請注意，如果我們在單位圓（即我們之前在正方形中內接的那個）上具有均勻分佈，那麼其半徑的密度將與半徑成正比（考慮寬度為小的環形元素的面積在半徑- 即介於和- 面積與）。然後，當我們通過圓外時，半徑較大的新環形區域僅從正方形中的部分獲得密度貢獻，因此密度降低（最初很快，然後更慢）和. （同樣，如果需要，相當簡單的幾何概念足以獲得密度的函數形式。）
相比之下，如果聯合分佈關於原點旋轉對稱，則某個角度的概率元素不依賴於角度（這本質上是重言式！）。兩個獨立的標準高斯分佈的二元分佈關於原點旋轉對稱：
（此圖像的代碼基於此處的 Elan Cohen 的代碼，但此處有一個不錯的替代方案 ，此處介於兩者之間）
因此體積包含在某個角度每個人都是一樣的，因此與角度相關的密度在.
[通常用於在實線上積分法線密度的極坐標技巧可用於計算出平方半徑的密度是負指數的，並且從那裡可以通過簡單的變換參數輕鬆識別半徑的密度分佈函數]
